ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 16Кредиты

Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Кредиты

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 16Задачи о кредитах

Планируется выдать льготный кредит на целое число миллионов рублей на пять лет. В середине каждого года действия кредита долг заёмщика возрастает на 20% по сравнению с началом года. В конце 1-⁠го, 2-⁠го и 3-⁠го годов заёмщик выплачивает только проценты по кредиту, оставляя долг неизменно равным первоначальному. В конце 4-⁠го и 5-⁠го годов заёмщик выплачивает одинаковые суммы, погашая весь долг полностью. Найдите наименьший размер кредита, при котором общая сумма выплат заёмщика превысит 10 млн.

В подтеме 186 задач
Разбор
Главная идея: Составить баланс долга по годам: три года выплачиваются только проценты (долг не меняется), а последние два года — равными платежами полностью погашающими возросший долг; из уравнения на равенство платежей найти общую сумму выплат как долю от S и решить неравенство.

Пусть SS — размер кредита в млн рублей.

За 1-й, 2-й и 3-й годы долг каждый раз возрастает в середине года на 20%, то есть заёмщик должен заплатить проценты 0,2S0,2S, чтобы к началу следующего года долг снова стал равен SS. Так происходит трижды, значит суммарно за эти три года выплачено 3⋅0,2S=0,6S3\cdot0,2S=0,6S.

Теперь разберёмся с последними двумя годами. В середине 4-го года долг вырастает на 20%: S⋅1,2=1,2SS\cdot1,2=1,2S. Пусть xx — сумма, которую платят одинаково в конце 4-го и в конце 5-го года. После выплаты в конце 4-го года долг становится 1,2S−x1,2S-x. В середине 5-го года он снова увеличивается на 20%: 1,2(1,2S−x)1,2(1,2S-x). Так как в конце 5-го года долг должен быть погашен полностью этой же суммой xx, получаем уравнение: 1,2(1,2S−x)=x.1,2(1,2S-x)=x. Раскрываем: 1,44S−1,2x=x⇒1,44S=2,2x⇒x=144220S=3655S.1,44S-1,2x=x \Rightarrow 1,44S=2,2x \Rightarrow x=\dfrac{144}{220}S=\dfrac{36}{55}S.

Общая сумма всех выплат за 5 лет: 0,6S+2x=0,6S+7255S=3355S+7255S=10555S=2111S.0,6S+2x=0,6S+\dfrac{72}{55}S=\dfrac{33}{55}S+\dfrac{72}{55}S=\dfrac{105}{55}S=\dfrac{21}{11}S.

По условию нужно, чтобы выплаты превысили 10 млн: 2111S>10⇒21S>110⇒S>11021≈5,24.\dfrac{21}{11}S>10 \Rightarrow 21S>110 \Rightarrow S>\dfrac{110}{21}\approx5,24.

Поскольку кредит выдаётся на целое число миллионов, наименьшее подходящее значение — S=6S=6.

Типичные ошибки

  • Неверно учитывать рост долга — забывают, что за 1-3 годы долг остаётся равным S, а не накапливается.
  • Ошибка в составлении уравнения для x: путают порядок начисления процентов и выплаты долга в 4-м и 5-м годах.
  • Забывают, что кредит выдаётся на целое число миллионов, и берут дробное значение S как ответ.
Непонятно?

Похожие задачи