Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Кредиты

Пусть кредит равен $S$ млн рублей.

Первые три года. Долг в середине года увеличивается на 20%, то есть становится $1{,}2S$. Заёмщик выплачивает только проценты, чтобы долг вернулся к $S$ — значит, платёж равен $1{,}2S-S=0{,}2S$. Так происходит в конце 1-го, 2-го и 3-го годов, поэтому суммарно за три года выплачено $3\cdot 0{,}2S=0{,}6S$.

4-й и 5-й годы. К началу 4-го года долг всё ещё $S$. В середине 4-го года он вырастает до $1{,}2S$. Пусть $x$ — одинаковый платёж в конце 4-го и 5-го годов. После платежа в конце 4-го года долг становится $1{,}2S-x$. К середине 5-го года он снова увеличивается на 20%: $1{,}2(1{,}2S-x)$. В конце 5-го года весь долг гасится последним платежом $x$, значит $$1{,}2(1{,}2S-x)=x.$$ Отсюда $1{,}44S-1{,}2x=x$, то есть $2{,}2x=1{,}44S$, и $$x=\frac{144}{220}S=\frac{36}{55}S.$$

Общая сумма выплат. За все пять лет заёмщик отдаёт $0{,}6S+2x=0{,}6S+\frac{72}{55}S=\frac{21}{11}S$.

Условие задачи. Нужно, чтобы эта сумма была меньше 7: $$\frac{21}{11}S<7 \;\Rightarrow\; 21S<77 \;\Rightarrow\; S<\frac{77}{21}=\frac{11}{3}\approx 3{,}67.$$

Поскольку $S$ — целое число миллионов рублей, наибольшее подходящее значение — $S=3$.