ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 16Кредиты

Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Кредиты

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 16Задачи о кредитах

В декабре планируется взять кредит в банке на целое число миллионов рублей на срок 6 лет. Условия его возврата таковы:

—  каждый июнь долг возрастает на 10% по сравнению с началом данного года;

—  с июля по декабрь 1-⁠го, 2-⁠го, 3-⁠го и 4-⁠го годов заемщик выплачивает только проценты по кредиту, оставляя долг равным первоначальному;

—  с июля по декабрь 5-⁠го и 6-⁠го годов необходимо выплатить одинаковые суммы так, чтобы весь долг был погашен полностью.

Найдите наименьший размер кредита, при котором общая сумма выплат заемщика будет не менее 14 млн руб.

В подтеме 186 задач
Разбор
Главная идея: Составить рекуррентную схему изменения долга по годам, выразить размер последних (одинаковых) платежей через сумму кредита из условия полного погашения, затем найти наименьшее целое значение кредита, при котором суммарные выплаты не меньше заданной величины.

Пусть кредит равен SS млн руб., а выплаты в 5‑м и 6‑м годах равны xx млн руб.

Первые четыре года. В январе долг SS. К июню он увеличивается на 10%, становится 1,1S1{,}1S. Из этой суммы выплачиваются только проценты, то есть 0,1S0{,}1S, и долг снова возвращается к SS. Так повторяется каждый год с 1‑го по 4‑й, значит за эти годы всего выплачено 4⋅0,1S=0,4S4\cdot0{,}1S=0{,}4S.

Пятый год. Долг в январе SS, в июне — 1,1S1{,}1S. Выплачивают xx, и остаток долга становится 1,1S−x1{,}1S-x.

Шестой год. Этот остаток снова растёт на 10%: (1,1S−x)⋅1,1(1{,}1S-x)\cdot1{,}1. Последней выплатой xx долг должен обнулиться: (1,1S−x)⋅1,1−x=0.(1{,}1S-x)\cdot1{,}1-x=0. Раскрываем: 1,21S−1,1x−x=0⇒1,21S=2,1x⇒x=1,21S2,1.1{,}21S-1{,}1x-x=0 \Rightarrow 1{,}21S=2{,}1x \Rightarrow x=\dfrac{1{,}21S}{2{,}1}.

Условие на общую сумму выплат. Суммарно заплачено 0,4S+2x≥140{,}4S+2x\ge14. Подставляем xx: 0,4S+2⋅1,21S2,1≥14.0{,}4S+2\cdot\dfrac{1{,}21S}{2{,}1}\ge14. Умножим обе части на 2,12{,}1, чтобы избавиться от дроби: 0,84S+2,42S≥29,4⇒3,26S≥29,4⇒S≥29,43,26=2940326≈9,018.0{,}84S+2{,}42S\ge29{,}4 \Rightarrow 3{,}26S\ge29{,}4 \Rightarrow S\ge\dfrac{29{,}4}{3{,}26}=\dfrac{2940}{326}\approx9{,}018.

По условию SS — целое число миллионов рублей, поэтому наименьшее подходящее значение S=10S=10.

Типичные ошибки

  • Неправильно определяют момент начисления процентов — забывают, что рост на 10% происходит именно в июне, а не за весь год.
  • Ошибаются в составлении уравнения для последнего года, забывая, что проценты в 6‑м году начисляются на остаток долга после 5‑го года, а не на исходную сумму SS.
  • При решении неравенства для суммы выплат забывают, что SS должно быть целым числом, и берут ближайшее нецелое значение вместо округления вверх.
Непонятно?

Похожие задачи