ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 16Кредиты

Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Кредиты

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 16Задачи о кредитах

В июле 2026 года планируется взять кредит на целое число миллионов рублей на пять лет. Условия его возврата таковы:

—  каждый январь долг возрастает на 5% по сравнению с концом предыдущего года;

—  с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

—  в июле 2027, 2028 и 2029 годов долг остаётся равным первоначальному;

—  выплаты в 2030 и 2031 годах равны;

—  к июлю 2031 года долг должен быть выплачен полностью.

Найдите наибольший размер кредита, при котором общая сумма выплат заёмщика будет меньше 4 млн руб.

В подтеме 186 задач
Разбор
Главная идея: Выразить все платежи через размер кредита SS, используя условие постоянства долга в 2027–2029 гг. и равенство двух последних платежей, затем найти общую сумму выплат как функцию от SS и решить неравенство 201164S<4\frac{201}{164}S<4.

Пусть кредит равен SS млн руб.

2027–2029 годы. Каждый январь долг увеличивается на 5%, то есть становится 1,05S1{,}05S. Так как к июлю долг снова равен SS, значит, платёж в эти годы равен разнице: 1,05S−S=0,05S1{,}05S-S=0{,}05S. За три года суммарно выплачено 3⋅0,05S=0,15S3\cdot0{,}05S=0{,}15S.

2030–2031 годы. В январе 2030 долг вырастает до 1,05S1{,}05S. Пусть каждый из двух оставшихся платежей равен xx (по условию они равны). После платежа 2030 года долг равен 1,05S−x1{,}05S-x. В январе 2031 он увеличивается ещё на 5%: 1,05(1,05S−x)1{,}05(1{,}05S-x). По условию к июлю 2031 долг должен быть погашен полностью, то есть последний платёж xx равен этому остатку: 1,05(1,05S−x)=x.1{,}05(1{,}05S-x)=x. Раскрываем и собираем xx: 1,1025S−1,05x=x⇒2,05x=1,1025S⇒x=1102520500S.1{,}1025S-1{,}05x=x \Rightarrow 2{,}05x=1{,}1025S \Rightarrow x=\dfrac{11025}{20500}S.

Суммарные выплаты. За пять лет заплачено 0,15S0{,}15S (первые три года) плюс 2x2x (2030 и 2031): 0,15S+2205020500S=2512520500S=201164S.0{,}15S+\dfrac{22050}{20500}S=\dfrac{25125}{20500}S=\dfrac{201}{164}S.

Условие задачи. Нужно, чтобы сумма выплат была меньше 4 млн: 201164S<4⇒S<656201≈3,264.\dfrac{201}{164}S<4 \Rightarrow S<\dfrac{656}{201}\approx 3{,}264.

Поскольку SS — целое число миллионов, наибольшее подходящее значение — S=3S=3.

Типичные ошибки

  • Не учитывают, что рост долга на 5% происходит именно в январе, а платёж — с февраля по июнь, из-за чего путают момент начисления процентов.
  • Ошибочно считают, что оба последних платежа равны половине суммы долга, не составляя уравнение с учётом повторного роста на 5% в 2031 году.
  • Забывают, что SS должно быть целым числом миллионов, и указывают дробное значение как окончательный ответ.
Непонятно?

Похожие задачи