ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 16Кредиты

Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Кредиты

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 16Задачи о кредитах

В ноябре 2025 года планируется взять кредит на пять лет в размере 420 тысяч рублей. Условия его возврата таковы:

—  каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года;

—  с февраля по октябрь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

—  в ноябре 2026, 2027 и 2028 годов долг остается равным 420 тыс. руб.;

—  выплаты в 2029 и 2030 годах равны;

—  к ноябрю 2030 года долг будет выплачен полностью.

Найдите общую сумму платежей за пять лет.

В подтеме 186 задач
Разбор
Главная идея: Смоделировать рост долга по годам через коэффициент k=1,1k=1{,}1 и составить уравнение обнуления долга к концу срока, чтобы найти равные платежи последних двух лет, а затем сложить все выплаты.

Обозначим k=1+10100=1,1k=1+\dfrac{10}{100}=1{,}1 — коэффициент увеличения долга на 10%, а через xx — равные платежи 2029 и 2030 годов (в тыс. руб.).

В ноябре 2026–2028 гг. долг остаётся равным 420, значит за январь он вырастает до 420k420k, а выплаченная за год сумма компенсирует именно этот рост: 420k−420=420(k−1)420k-420=420(k-1). Так повторяется три раза (2026,2027,2028), суммарно 3⋅420(k−1)=3⋅420⋅0,1=1263\cdot420(k-1)=3\cdot420\cdot0{,}1=126 тыс. руб.

Далее к ноябрю 2028 долг снова равен 420. В январе 2029 он вырастает до 420k420k, после выплаты xx остаётся 420k−x420k-x — это долг на ноябрь 2029.

В январе 2030 долг увеличивается ещё на 10%: (420k−x)k=420k2−kx(420k-x)k=420k^2-kx. После выплаты того же xx остаётся 420k2−kx−x=420k2−(k+1)x420k^2-kx-x=420k^2-(k+1)x.

По условию к ноябрю 2030 долг должен стать нулём: 420k2−(k+1)x=0  ⇒  x=420k2k+1.420k^2-(k+1)x=0 \;\Rightarrow\; x=\dfrac{420k^2}{k+1}.

Подставим k=1,1k=1{,}1: k2=1,21k^2=1{,}21, значит x=420⋅1,212,1=242 тыс. руб.x=\dfrac{420\cdot1{,}21}{2{,}1}=242 \text{ тыс. руб.}

Общая сумма всех платежей за 5 лет: 3⋅420(k−1)+2x=126+2⋅242=126+484=610 тыс. руб.3\cdot420(k-1)+2x=126+2\cdot242=126+484=610 \text{ тыс. руб.}

Типичные ошибки

  • Забывают, что рост долга происходит ежегодно (каждый январь), и не применяют коэффициент kk несколько раз подряд для 2029–2030 годов.
  • Ошибочно считают, что выплаты в 2026–2028 годах равны просто 420, а не разности 420(k−1)420(k-1), которая компенсирует только прирост долга.
  • Допускают арифметическую ошибку при вычислении k2=1,21k^2=1{,}21 или при делении 420⋅1,21/2,1420\cdot1{,}21/2{,}1.
Непонятно?

Похожие задачи