Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Кредиты

Пусть коэффициент увеличения долга за год равен $k=1+\dfrac{r}{100}$ (то есть каждый январь долг умножается на $k$).

1. 2026–2028 годы: долг перед выплатой $315k$, после сентября он снова равен $315$, значит выплата каждый раз $315k-315$. Таких выплат три.

2. 2029 год: долг в январе $315k$, платёж обозначим $x$, остаток к сентябрю $315k-x$.

3. 2030 год: этот остаток за год вырастает в $k$ раз, т.е. становится $(315k-x)k$, и последним платежом $x$ долг гасится полностью: $$(315k-x)k-x=0\ \Rightarrow\ x=\dfrac{315k^2}{1+k}.$$ Платежи в 2029 и 2030 равны, поэтому оба платежа равны этому $x$.

4. Общая сумма всех выплат: $$3(315k-315)+2x=457{,}5.$$ Подставим $x$: $$945k-945+\dfrac{630k^2}{1+k}=457{,}5.$$ Умножим на $(1+k)$ и приведём подобные — получаем квадратное уравнение $$210k^2-61k-187=0.$$ Его корни: $k=-\dfrac{17}{21}$ (не подходит, $k>0$) и $k=\dfrac{11}{10}=1{,}1$.

5. Значит $k=1{,}1=1+\dfrac{r}{100}$, отсюда $r=10$.