Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Кредиты

Пусть $x=1+\dfrac{r}{100}$ — множитель, на который умножается долг каждый январь.

В 2023, 2024 и 2025 годах долг в начале года равен 210 млн, в январе становится $210x$, а к августу его снова возвращают к 210 млн одним платежом. Значит, каждый из этих трёх платежей равен $210x-210$.

В 2026 году долг тоже начинается с 210 млн, в январе становится $210x$, и с него делают платёж $N$ (такой же, как в 2027 году). После этого остаток $210x-N$ переходит на 2027 год, в январе снова умножается на $x$, и этим последним платежом $N$ долг закрывается полностью: $$N=(210x-N)x \Rightarrow N=\dfrac{210x^2}{1+x}.$$

Общая сумма всех выплат равна 305 млн: $$3(210x-210)+2\cdot\dfrac{210x^2}{1+x}=305.$$

Преобразуем: $$630x-630+\dfrac{420x^2}{1+x}=305 \Rightarrow \dfrac{420x^2}{1+x}=935-630x.$$

Умножаем на $(1+x)$ (оно положительно, так как $x>0$): $$420x^2=(1+x)(935-630x).$$

Раскрываем скобки и приводим к квадратному уравнению: $$1050x^2-305x-935=0 \;\Rightarrow\; 210x^2-61x-187=0.$$

Дискриминант: $61^2+4\cdot210\cdot187=160801=401^2$.

Корни: $x=\dfrac{61\pm401}{420}$. Так как $x>0$ (и должно быть $x>1$, ведь долг растёт), берём $x=\dfrac{462}{420}=1{,}1$.

Отсюда $1+\dfrac{r}{100}=1{,}1$, значит $r=10$.