Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Кредиты

Введём коэффициент роста долга за январь: $x=1+\dfrac{r}{100}$.

Первые три года. С июля 2016 по июль 2019 долг каждый раз возвращается к 4,2 млн руб. Значит, за январь долг вырастает до $4{,}2x$, а выплата с февраля по июнь ровно гасит этот прирост: платёж каждого из трёх лет равен $4{,}2x-4{,}2$.

2020–2021 годы. В январе 2020 долг снова становится $4{,}2x$. Пусть выплата 2020 и 2021 годов (они равны по условию) равна $N$. После платежа 2020 года долг равен $4{,}2x-N$. В январе 2021 он вырастает в $x$ раз: $(4{,}2x-N)x$. По условию к концу 2021 года долг полностью погашается именно платежом $N$, значит $$N=(4{,}2x-N)x \;\Rightarrow\; N(1+x)=4{,}2x^2 \;\Rightarrow\; N=\dfrac{4{,}2x^2}{1+x}.$$

Суммарные выплаты. По условию общая сумма всех выплат равна 6,1 млн руб.: $$3(4{,}2x-4{,}2)+2\cdot\dfrac{4{,}2x^2}{1+x}=6{,}1.$$

Умножим на $(1+x)$, чтобы избавиться от дроби: $$12{,}6(x-1)(1+x)+8{,}4x^2=6{,}1(1+x).$$

Раскроем: $12{,}6(x^2-1)+8{,}4x^2=6{,}1+6{,}1x$, то есть $$21x^2-6{,}1x-18{,}7=0.$$

Умножим на 10, чтобы избавиться от десятичных дробей: $$210x^2-61x-187=0.$$

Найдём дискриминант: $D=61^2+4\cdot210\cdot187=3721+157080=160801=401^2$.

Корни: $x=\dfrac{61\pm401}{420}$. Отсюда $x_1=\dfrac{462}{420}=1{,}1$, а второй корень отрицателен и не подходит, так как $x>1$ (долг не может уменьшаться из-за начисления процентов).

Значит, $x=1{,}1$, то есть $1+\dfrac{r}{100}=1{,}1$, откуда $r=10$.