Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Кредиты

Обозначим коэффициент роста долга за январь как $k=1+\frac{25}{100}=1{,}25$ — именно во столько раз умножается остаток долга каждый январь.

Шаг 1. В 2027–2029 годах долг в июле каждый раз снова равен 720 тыс. руб. Значит, за январь долг вырастает до $720k$, а за год выплачивается разница $720k-720=720(k-1)$ тыс. руб. Так повторяется три раза (2027, 2028, 2029), суммарно платится $3\cdot 720(k-1)$.

Шаг 2. Пусть в 2030 и 2031 годах платёж одинаков и равен $x$ тыс. руб. В январе 2030 долг становится $720k$, после платежа в июле — $720k-x$. В январе 2031 он снова вырастает на 25%: $(720k-x)k=720k^2-kx$. После платежа $x$ в июле 2031 остаётся $720k^2-kx-x=720k^2-(k+1)x$.

Шаг 3. По условию к июлю 2031 долг должен быть полностью погашен, поэтому $$720k^2-(k+1)x=0 \Rightarrow x=\frac{720k^2}{k+1}.$$

Шаг 4. Общая сумма всех выплат за пять лет складывается из трёх платежей 2027–2029 годов и двух платежей 2030–2031 годов: $$S=3\cdot 720(k-1)+2x=3\cdot 720(k-1)+2\cdot\frac{720k^2}{k+1}.$$

Шаг 5. Подставляем $k=1{,}25$: $k-1=0{,}25$, $k^2=1{,}5625$, $k+1=2{,}25$. $$S=3\cdot 720\cdot 0{,}25+2\cdot\frac{720\cdot 1{,}5625}{2{,}25}=540+1000=1540\text{ тыс. руб.}$$