ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 16Кредиты

Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Кредиты

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 16Задачи о кредитах

В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на пять лет в размере S тыс. руб. Условия его возврата таковы:

—  каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

—  с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

—  в июле 2017,2018 и 2019 долг остаётся равным S тыс. руб.;

—  выплаты в 2020 и 2021 годах равны по 360 тыс. руб.;

—  к июлю 2021 долг будет выплачен полностью.

Найдите общую сумму выплат за пять лет.

В подтеме 186 задач
Разбор
Главная идея: Использовать то, что после каждого начисления процентов и выплаты долг либо возвращается к исходному значению SS (первые три года), либо уменьшается на фиксированную сумму (последние два года), и составить уравнение для нахождения SS из условия полного погашения долга.
  1. По условию каждый январь долг умножается на 1,21{,}2 (рост на 20%), а к июлю следующего года (2017, 2018, 2019) он снова равен исходному SS. Значит, за эти годы выплачивается разница между долгом после начисления процентов и SS: 1,2S−S=0,2S тыс. руб. в год, три раза.1{,}2S-S=0{,}2S\text{ тыс. руб. в год, три раза.}
  2. В январе 2020 года долг вырастает до 1,2S1{,}2S. После выплаты 360 тыс. руб. в июле 2020 года долг становится: 1,2S−360.1{,}2S-360.
  3. В январе 2021 года этот остаток снова увеличивается на 20%: 1,2⋅(1,2S−360)=1,44S−432.1{,}2\cdot(1{,}2S-360)=1{,}44S-432. После выплаты 360 тыс. руб. в июле 2021 года долг обнуляется: 1,44S−432−360=1,44S−792=0.1{,}44S-432-360=1{,}44S-792=0.
  4. Отсюда находим SS: S=7921,44=550 тыс. руб.S=\frac{792}{1{,}44}=550\text{ тыс. руб.}
  5. Тогда ежегодная выплата первых трёх лет: 0,2S=0,2⋅550=110 тыс. руб.0{,}2S=0{,}2\cdot550=110\text{ тыс. руб.}
  6. Общая сумма всех выплат за пять лет — это сумма трёх выплат по 110 тыс. руб. и двух по 360 тыс. руб.: 3⋅110+2⋅360=330+720=1050 тыс. руб.3\cdot110+2\cdot360=330+720=1050\text{ тыс. руб.}

Типичные ошибки

  • Ошибочно считать, что проценты начисляются на весь долг только один раз, а не ежегодно (без учёта повторного роста в 2021 году).
  • Не учитывать, что в 2017–2019 годах долг остаётся равным SS, и неправильно определять величину ежегодной выплаты как 0,2S0{,}2S.
  • Ошибки при составлении уравнения для 2020–2021 годов — потеря множителя 1,21{,}2 при пересчёте остатка долга после первой выплаты.
Непонятно?

Похожие задачи