ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 16Кредиты

Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Кредиты

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 16Задачи о кредитах

В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на срок семь лет в размере S млн руб. Условия его возврата таковы:

—  каждый январь долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года;

—  с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

—  в июле 2021, 2022, 2023 и 2024 годов долг остаётся равным S руб.;

—  выплаты 2025, 2026 и 2027 годах равны 2,16 млн руб.;

—  к июлю 2027 года долг будет выплачен полностью.

Найдите r и S, если известно, что сумма всех выплат составит 10,12 млн руб.

В подтеме 186 задач
Разбор
Главная идея: Записать долг по годам через множитель k=1+r/100k=1+r/100, использовать условие возврата к прежнему значению долга (постоянная годовая выплата процентов) и условие полного погашения к 2027 году, свести всё к системе двух уравнений на kk и SS.

Введём k=1+r100k=1+\dfrac{r}{100} — множитель, на который умножается долг после начисления процентов в январе.

С 2021 по 2024 год долг к июлю каждый раз возвращается к тому же значению SS: значит, в каждом из этих 4 лет выплата равна (k−1)S(k-1)S (проценты, начисленные за год).

В 2025 году долг после начисления процентов kSkS, из него выплачивают 2,16, остаётся kS−2,16kS-2{,}16. В 2026 году долг после начисления k(kS−2,16)=k2S−2,16kk(kS-2{,}16)=k^2S-2{,}16k, после выплаты 2,16 остаётся k2S−2,16k−2,16k^2S-2{,}16k-2{,}16. В 2027 году после начисления k3S−2,16k2−2,16kk^3S-2{,}16k^2-2{,}16k, а после выплаты 2,16 долг обнуляется: k3S−2,16k2−2,16k−2,16=0.k^3S-2{,}16k^2-2{,}16k-2{,}16=0.

Сумма всех выплат за 7 лет: 4 одинаковые выплаты (k−1)S(k-1)S плюс три выплаты по 2,16: 4(k−1)S+3⋅2,16=10,12.4(k-1)S+3\cdot2{,}16=10{,}12. Отсюда (k−1)S=0,91(k-1)S=0{,}91.

Преобразуем уравнение обнуления долга: k3S=2,16(k2+k+1)=2,16⋅k3−1k−1k^3S=2{,}16(k^2+k+1)=2{,}16\cdot\dfrac{k^3-1}{k-1}, то есть k3(k−1)S=2,16(k3−1)k^3(k-1)S=2{,}16(k^3-1). Подставляя (k−1)S=0,91(k-1)S=0{,}91, получаем 0,91k3=2,16(k3−1)0{,}91k^3=2{,}16(k^3-1), откуда 1,25k3=2,16⇒k3=216125⇒k=65=1,2.1{,}25k^3=2{,}16\Rightarrow k^3=\dfrac{216}{125}\Rightarrow k=\dfrac{6}{5}=1{,}2.

Тогда S=0,91k−1=0,910,2=4,55S=\dfrac{0{,}91}{k-1}=\dfrac{0{,}91}{0{,}2}=4{,}55, а r=100(k−1)=20r=100(k-1)=20.

Типичные ошибки

  • Неверно посчитать число лет с одинаковой выплатой (k−1)S(k-1)S (перепутать 4 года 2021–2024 с меньшим числом)
  • Ошибка при упрощении разности кубов k3−1=(k−1)(k2+k+1)k^3-1=(k-1)(k^2+k+1) и подстановке (k−1)S=0,91(k-1)S=0{,}91
  • Перепутать порядок начисления процентов и выплаты, из-за чего неверно строится долг на июль каждого года
Непонятно?

Похожие задачи