ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 16Кредиты

Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Кредиты

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 16Задачи о кредитах

В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму S миллионов рублей на 4 года. Условия его возврата таковы:

—  каждый январь долг возрастает на r процентов по сравнению с концом предыдущего года (r  — целое число);

—  с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

—  в июле 2027 и 2028 годов долг должен составлять 58% и 21% от первоначальной суммы S соответственно;

—  в июле 2029 и 2030 годов выплаты должны быть равными, и к июлю 2030 года долг должен быть полностью погашен.

Найдите наименьшее целое значение r, при котором общая сумма выплат по кредиту составит более 1,19S (то есть переплата превысит 19%).

В подтеме 186 задач
Разбор
Главная идея: Выразить все четыре выплаты через коэффициент роста долга k=1+r/100k=1+r/100, из условия на 2029–2030 годы найти общую сумму выплат за эти два года, а затем решить неравенство на суммарную переплату относительно kk, после чего перейти к rr.

Введём коэффициент годового удорожания k=1+r100k=1+\dfrac{r}{100} — во столько раз увеличивается долг в январе за счёт начисленных процентов.

2027 год. В январе долг стал SkSk. По условию в июле он должен равняться 0,58S0{,}58S, значит за февраль–июнь выплатили Sk−0,58SSk-0{,}58S.

2028 год. Долг в январе — 0,58Sk0{,}58Sk, в июле должен стать 0,21S0{,}21S, выплата — 0,58Sk−0,21S0{,}58Sk-0{,}21S.

2029–2030 годы. Пусть выплаты в эти два года равны xx каждая. После января 2029 долг 0,21Sk0{,}21Sk, после выплаты xx остаётся 0,21Sk−x0{,}21Sk-x. В январе 2030 он умножается на kk: (0,21Sk−x)k(0{,}21Sk-x)k, а после второй выплаты xx должен стать нулём: (0,21Sk−x)k−x=0.(0{,}21Sk-x)k-x=0. Отсюда 0,21Sk2=x(k+1)0{,}21Sk^2=x(k+1), значит x=0,21Sk2k+1x=\dfrac{0{,}21Sk^2}{k+1}, а суммарно за два года выплачено 2x=0,42Sk2k+12x=\dfrac{0{,}42Sk^2}{k+1}.

Общая переплата. Складываем все четыре выплаты и требуем, чтобы сумма превышала 1,19S1{,}19S: Sk−0,58S+0,58Sk−0,21S+0,42Sk2k+1>1,19S.Sk-0{,}58S+0{,}58Sk-0{,}21S+\frac{0{,}42Sk^2}{k+1}>1{,}19S. Делим на SS и приводим к общему знаменателю: 0,42k2k+1+1,58k−1,98>0  ⟺  2k2−0,4k−1,98k+1>0  ⟺  k2−0,2k−0,99k+1>0.\frac{0{,}42k^2}{k+1}+1{,}58k-1{,}98>0 \;\Longleftrightarrow\; \frac{2k^2-0{,}4k-1{,}98}{k+1}>0 \;\Longleftrightarrow\; \frac{k^2-0{,}2k-0{,}99}{k+1}>0. Поскольку k>1k>1, знаменатель положителен, значит достаточно решить k2−0,2k−0,99>0k^2-0{,}2k-0{,}99>0. Корни этого квадратного уравнения: k=1,1k=1{,}1 и k=−0,9k=-0{,}9. При k>1k>1 подходит только область k>1,1k>1{,}1.

Возврат к r. Из 1+r100>1,11+\dfrac{r}{100}>1{,}1 получаем r>10r>10. Наименьшее целое значение — r=11r=11.

Типичные ошибки

  • Забывают, что проценты начисляются на остаток долга именно в январе, а не сразу на всю сумму S каждый год.
  • Ошибка в составлении уравнения для равных выплат 2029–2030 годов — не учитывают, что после первой выплаты остаток снова растёт на коэффициент k перед второй выплатой.
  • Потеря знаменателя k+1 при решении неравенства, что приводит к неверному отбору корней и итоговому значению r.
Непонятно?

Похожие задачи