ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 16Кредиты

Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Кредиты

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 16Задачи о кредитах

Планируется выдать льготный кредит на целое число миллионов рублей на четыре года. В середине каждого года действия кредита долг заемщика возрастает на 20% по сравнению с началом года. В конце 1-⁠го и 2-⁠го годов заемщик выплачивает только проценты по кредиту, оставляя долг неизменно равным первоначальному. В конце 3-⁠го и 4-⁠го годов заемщик выплачивает одинаковые суммы, погашая весь долг полностью. Найдите наименьший размер кредита, при котором общая сумма выплат заемщика превысит 8 млн рублей.

В подтеме 186 задач
Разбор
Главная идея: Выразить суммарные выплаты по кредиту через размер кредита SS, учитывая, что за первые два года выплачиваются только проценты, а за последние два года — равные платежи, полностью гасящие долг с учётом двойного начисления процентов внутри года, затем решить неравенство на SS и взять наименьшее целое.

Пусть кредит равен SS млн руб.

1-й и 2-й год. Долг остаётся равным SS, но в середине года он вырастает на 20%, то есть проценты за год равны 0,2S0{,}2S. Заёмщик каждый раз выплачивает именно эти проценты, оставляя основной долг прежним. За два года выплачено 2⋅0,2S=0,4S2\cdot 0{,}2S=0{,}4S.

3-й и 4-й год. К началу 3-го года долг снова SS. В середине года он увеличивается на 20%: 1,2S1{,}2S. Пусть каждая из двух последних выплат равна xx. После выплаты в конце 3-го года долг: 1,2S−x1{,}2S-x. В середине 4-го года он снова растёт на 20%: 1,2(1,2S−x)1{,}2(1{,}2S-x). Это и есть остаток, который должен быть полностью погашен последним платежом xx: 1,2(1,2S−x)=x.1{,}2(1{,}2S-x)=x. Раскрываем: 1,44S−1,2x=x⇒1,44S=2,2x⇒x=1,44S2,2=36S55.1{,}44S-1{,}2x=x \Rightarrow 1{,}44S=2{,}2x \Rightarrow x=\dfrac{1{,}44S}{2{,}2}=\dfrac{36S}{55}.

Общая сумма выплат. 0,4S+2⋅36S55=0,4S+72S55=22S+72S55=94S55.0{,}4S+2\cdot\dfrac{36S}{55}=0{,}4S+\dfrac{72S}{55}=\dfrac{22S+72S}{55}=\dfrac{94S}{55}.

Условие задачи. 94S55>8  ⟹  94S>440  ⟹  S>44094=43247≈4,68.\dfrac{94S}{55}>8 \;\Longrightarrow\; 94S>440 \;\Longrightarrow\; S>\dfrac{440}{94}=4\dfrac{32}{47}\approx4{,}68.

Поскольку SS — целое число миллионов рублей, наименьшее подходящее значение — S=5S=5.

Типичные ошибки

  • Забывают, что проценты начисляются в середине года, и применяют рост на 20% только один раз за весь год, а не при расчёте остатка после частичного платежа.
  • Ошибочно считают, что в конце 3-го и 4-го года выплаты равны процентам, а не полному погашению долга с учётом роста в середине следующего периода.
  • Округляют S в неправильную сторону (берут ближайшее целое вместо наименьшего целого, большего найденного значения).
Непонятно?

Похожие задачи