ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 16Кредиты

Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Кредиты

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 16

15 января 2027 года планируется взять кредит в банке на 5 лет. Условия его возврата таковы:

—  1 января каждого года долг увеличивается на 12% по сравнению с концом предыдущего года;

—  со 2 по 14 января каждого года необходимо внести один платеж;

—  15 января 2028, 2029, 2031 и 2032 годов долг должен уменьшаться на одну и ту же сумму по сравнению с долгом на 15 января предыдущего года;

—  15 января 2030 года, то есть после третьего платежа, долг должен стать на 50% меньше, чем 15 января 2029 года;

—  к 15 января 2032 года кредит должен быть полностью погашен.

Известно, что общая сумма всех выплат составила 4,08 млн рублей. Найдите первоначальную сумму кредита.

В подтеме 186 задач
Разбор
Главная идея: Составить таблицу «долг–платёж–остаток» по годам, выразить все величины через SS и xx, из условия полного погашения найти xx через SS, затем через сумму всех платежей найти SS.

Обозначим SS — сумму кредита, xx — величину, на которую уменьшается долг в 2028, 2029, 2031 и 2032 годах.

После начисления 12% долг на 1 января каждого года равен 1,12⋅(долг на 15 января предыдущего года)1{,}12\cdot(\text{долг на 15 января предыдущего года}). Далее часть платежа — это проценты 0,12⋅(остаток)0{,}12\cdot(\text{остаток}), а часть — погашение основного долга (само уменьшение долга).

Строим остатки долга на 15 января:

  • 2028: остаток S−xS-x;
  • 2029: остаток S−2xS-2x;
  • 2030: по условию долг уменьшается на 50%, значит остаток 0,5(S−2x)0{,}5(S-2x);
  • 2031: остаток 0,5(S−2x)−x0{,}5(S-2x)-x;
  • 2032: остаток 0,5(S−2x)−2x0{,}5(S-2x)-2x, и он должен быть равен нулю (кредит погашен).

Из равенства 0,5(S−2x)−2x=00{,}5(S-2x)-2x=0 получаем 0,5S−x−2x=00{,}5S-x-2x=0, то есть x=S6x=\dfrac{S}{6}.

Теперь считаем сумму всех платежей — она равна сумме процентов за все 5 лет плюс сумма всех погашений основного долга: 0,12(4S−6x)+3x+0,5S=4,08.0{,}12(4S-6x)+3x+0{,}5S=4{,}08. Это получается сложением процентов 0,12S+0,12(S−x)+0,12(S−2x)+0,12⋅0,5(S−2x)+0,12(0,5(S−2x)−x)=0,12(4S−6x)0{,}12S+0{,}12(S-x)+0{,}12(S-2x)+0{,}12\cdot0{,}5(S-2x)+0{,}12(0{,}5(S-2x)-x)=0{,}12(4S-6x) и всех погашений долга x+x+0,5(S−2x)+x+x=3x+0,5Sx+x+0{,}5(S-2x)+x+x=3x+0{,}5S.

Подставим x=S6x=\dfrac{S}{6}, тогда 6x=S6x=S, и 4S−6x=3S4S-6x=3S, 3x=0,5S3x=0{,}5S: 0,12⋅3S+0,5S+0,5S=4,08  ⇒  1,36S=4,08  ⇒  S=3.0{,}12\cdot3S+0{,}5S+0{,}5S=4{,}08\;\Rightarrow\;1{,}36S=4{,}08\;\Rightarrow\;S=3.

Типичные ошибки

  • Не учитывать, что проценты начисляются на остаток именно на 1 января, а не на 15 января предыдущего года.
  • Ошибочно считать, что уменьшение долга в 2030 году равно xx, а не 0,5(S−2x)0{,}5(S-2x).
  • Складывать не все пять платежей, забывая, что платёж в 2030 году включает и проценты, и половину остатка.
Непонятно?

Похожие задачи