Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Кредиты

Пусть $k=\dfrac{r}{100}$ — коэффициент увеличения долга за счёт процентов. Работаем в тысячах рублей, тогда сумма кредита — 1000.

2027–2028. В январе 2028 долг увеличивается на $k$: становится $1000+1000k$. С февраля по июнь выплачивают 200, поэтому к июлю (началу отсчёта следующего цикла) долг равен $800+1000k$.

Равномерное погашение 2029–2033. За 5 лет тело долга уменьшается на одинаковую величину $d=\dfrac{800+1000k}{5}=160+200k$ ежегодно.

Схема по годам. В начале каждого года долг сначала увеличивается на проценты $k\cdot(\text{долг})$, затем гасится на $d$. Долги на начало 2029–2033: $800+1000k,\ 640+800k,\ 480+600k,\ 320+400k,\ 160+200k$ (каждый раз уменьшается на $d$). Платёж в году равен $d+k\cdot(\text{долг на начало года})$.

Суммарные выплаты за 5 лет: $$5d+k(800+640+480+320+160+1000k+800k+600k+400k+200k)=5(160+200k)+k(2400+3000k).$$ Это равно $800+3400k+3000k^2$.

Уравнение. Общая сумма выплат — 1370, из них 200 уже выплачено в 2028 году, значит оставшаяся часть равна 1170: $$3000k^2+3400k+800=1170\ \Rightarrow\ 3000k^2+3400k-370=0.$$ Делим на 10: $300k^2+340k-37=0$. Дискриминант $D=340^2+4\cdot300\cdot37=160000$, $\sqrt D=400$. $$k=\frac{-340+400}{600}=0{,}1.$$ Значит $r=100k=10$.