ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 16Кредиты

Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Кредиты

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 16

В июле 2026 года планируется взять кредит на сумму 1,5 миллиона рублей на 10 лет (до июля 2036 года). Условия его возврата таковы:

—  в январе каждого года долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года;

—  с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

—  в нечетные годы погашения (2027, 2029, 2031, 2033, 2035) долг должен уменьшаться на одну и ту же величину X по сравнению с предыдущим годом;

—  в четные годы погашения (2028, 2030, 2032, 2034, 2036) долг должен уменьшаться на одну и ту же величину Y по сравнению с предыдущим годом;

—  известно, что X в два раза больше Y;

—  к июлю 2036 года кредит должен быть полностью погашен.

Найдите r, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 2,3 млн руб.

В подтеме 186 задач
Разбор
Главная идея: Найти X и Y из условия X=2Y и суммарного погашения долга, затем выразить общую сумму выплат как сумму погашений долга плюс проценты, начисляемые на остаток долга каждого года, и решить уравнение относительно r.

  1. Пусть S=1500S=1500 (тыс. руб.) — сумма кредита. По условию X=2YX=2Y, и общая сумма всех уменьшений долга за 10 лет равна SS: 5X+5Y=S5X+5Y=S, то есть 5⋅2Y+5Y=1500⇒15Y=1500⇒Y=1005\cdot2Y+5Y=1500\Rightarrow15Y=1500\Rightarrow Y=100, значит X=200X=200.

  2. Долг уменьшается поочерёдно: в нечётные годы (2027,2029,...) — на X=200X=200, в чётные — на Y=100Y=100. Строим остатки долга после каждого года: 1500→1300→1200→1000→900→700→600→400→300→100→01500\to1300\to1200\to1000\to900\to700\to600\to400\to300\to100\to0.

  3. В январе каждого года долг, оставшийся с прошлого года, увеличивается на r%r\%: если долг на начало года равен DD, то после начисления процентов он равен D(1+r100)D\left(1+\dfrac{r}{100}\right). Далее часть долга гасится, и остаток снова равен «чистому» значению (без процентов) — то есть проценты выплачиваются сразу вместе с основной суммой. Значит, платёж за год == (уменьшение долга) +D⋅r100+ D\cdot\dfrac{r}{100}.

  4. Долги DD, на которые начисляются проценты (это остатки на начало каждого года): 1500,1300,1200,1000,900,700,600,400,300,1001500,1300,1200,1000,900,700,600,400,300,100. Их сумма: 1500+1300+1200+1000+900+700+600+400+300+100=80001500+1300+1200+1000+900+700+600+400+300+100=8000.

  5. Общая сумма всех платежей: (сумма уменьшений долга)+r100⋅8000=1500+80r\text{(сумма уменьшений долга)}+\dfrac{r}{100}\cdot8000=1500+80r.

  6. По условию эта сумма равна 23002300: 1500+80r=2300⇒80r=800⇒r=101500+80r=2300\Rightarrow80r=800\Rightarrow r=10.

Типичные ошибки

  • Ошибочно считать, что проценты начисляются на весь оставшийся кредит за все годы сразу, а не на остаток каждого конкретного года.
  • Перепутать, какие годы уменьшают долг на X, а какие на Y (нечётные/чётные).
  • Арифметическая ошибка при суммировании остатков долга, на которые начисляются проценты.
Непонятно?

Похожие задачи