Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Кредиты

Обозначим сумму кредита S, ежегодный коэффициент роста долга $k=1+\dfrac{r}{100}$. Каждый год в январе долг умножается на $k$, а затем за платёж вычитается $x$. Тогда долг после первого, второго и третьего годовых циклов равен: $kS-x$, $k^2S-kx-x$, $k^3S-k^2x-kx-x$.

Если кредит закрывается за 2 года равными платежами $x_2$, то к концу второго года долг равен нулю: $k^2S-kx_2-x_2=0$, откуда $Sk^2=kx_2+x_2$.

Если кредит закрывается за 3 года платежами $x_3$: $k^3S-k^2x_3-kx_3-x_3=0$. Заметим, что $k^3S=k\cdot k^2S$, и подставим сюда выражение для $Sk^2$: $k(kx_2+x_2)-k^2x_3-kx_3-x_3=0$.

Раскрываем и группируем: $k^2(x_2-x_3)+k(x_2-x_3)-x_3=0$, то есть $(k^2+k)(x_2-x_3)=x_3$, откуда $k^2+k=\dfrac{x_3}{x_2-x_3}$.

Подставляем числа: $x_3=56595$, $x_2=81095$, значит $x_2-x_3=24500$, и $\dfrac{56595}{24500}=2{,}31$.

Решаем уравнение $k^2+k-2{,}31=0$: $k=\dfrac{-1\pm\sqrt{1+9{,}24}}{2}=\dfrac{-1\pm3{,}2}{2}$, значит $k=1{,}1$ или $k=-2{,}1$ (отрицательный корень не подходит, так как $k>1$).

Из $k=1{,}1$ получаем $1+\dfrac{r}{100}=1{,}1$, то есть $r=10$.