Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Кредиты

Пусть $S$ — сумма кредита. В январе Андрей отдаёт половину долга — $\frac{S}{2}$, значит остаток равен $S-\frac{S}{2}=\frac{S}{2}$. В феврале отдаётся треть остатка: $\frac{S}{2}\cdot\frac13=\frac{S}{6}$, тогда после выплаты долг составит $\frac{S}{2}-\frac{S}{6}=\frac{S}{3}$. Видно закономерность: перед $n$-м месяцем остаток равен $\frac{S}{n}$, а выплата составляет $\frac{1}{n+1}$ этой суммы, то есть $\frac{S}{n(n+1)}$. Тогда новый остаток: $$\frac{S}{n}-\frac{S}{n(n+1)}=\frac{S}{n+1}.$$ Это правило подтверждается для январь–март, значит по индукции верно для всех месяцев. После 11-го месяца (ноябрь) остаток равен $\frac{S}{11+1}=\frac{S}{12}$. В декабре Андрей выплачивает весь остаток целиком — по условию это 100 тыс. руб. Значит $\frac{S}{12}=100$, откуда $S=1200$ тыс. руб.