Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Кредиты

Обозначим сумму кредита за $8S$ (тыс. руб.) — такое представление удобно, так как далее долг делится на восемь равных частей.

1. По условию в ноябре 1–4 годов долг каждый год уменьшается на одну и ту же величину по сравнению с январём того же года, а в декабре 4‑го года долг равен половине кредита, т.е. $4S$. Значит за 4 года долг уменьшился с $8S$ до $4S$, то есть на $4S$, а за год — на $S$. Получаем долги на ноябрь: 1‑й год $7S$, 2‑й $6S$, 3‑й $5S$, 4‑й $4S$.

2. В 5‑м и 6‑м годах долг снова уменьшается равными шагами, а в конце 6‑го года кредит выплачен полностью (долг $0$). От $4S$ до $0$ за два шага — шаг равен $2S$. Тогда ноябрь 5‑го года — $2S$, ноябрь 6‑го — $0$.

3. Внутри каждого года: январский долг $X$, в феврале он увеличивается на 20%, то есть становится $1{,}2X$. Затем часть долга выплачивается (эта сумма и есть искомая «выплата» $V$), после чего долг доходит до нужного ноябрьского значения. Значит $V = 1{,}2X - (\text{долг на ноябрь})$.

Для первого года: $X=8S$, ноябрьский долг $7S$, поэтому первая выплата $V_1 = 1{,}2\cdot 8S - 7S = 2{,}6S$.

Для шестого года: $X=2S$, конечный долг $0$, поэтому последняя выплата $V_6 = 1{,}2\cdot 2S = 2{,}4S$.

4. По условию $V_1 - V_6 = 8$ (тыс. руб.): $$2{,}6S - 2{,}4S = 8 \Rightarrow 0{,}2S = 8 \Rightarrow S = 40.$$

5. Тогда сумма кредита $8S = 8\cdot 40 = 320$ (тыс. руб.) $=320\,000$ рублей.