Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Кредиты

Пусть первоначальная сумма кредита — $S$ тыс. руб., а коэффициент годового увеличения долга $k=1+\dfrac{p}{100}$ (то есть за год долг умножается на $k$).

Шаг 1. Через год долг стал $kS$, и по условию он увеличился на 30 тыс. руб., то есть равен $S+30$. Приравняем: $$kS=S+30 \;\Rightarrow\; S(k-1)=30 \;\Rightarrow\; S=\dfrac{30}{k-1}.$$ Это уравнение связывает начальную сумму долга и коэффициент роста.

Шаг 2. После частичного возврата долг стал равен половине первоначального: $\dfrac{S}{2}$. Дальше два года он рос по тому же закону (умножение на $k$ каждый год), поэтому через два года он стал $\dfrac{S}{2}\cdot k^2$. По условию это равно 108 тыс. руб.: $$\dfrac{Sk^2}{2}=108.$$

Шаг 3. Подставим найденное выражение для $S$: $$\dfrac{30k^2}{2(k-1)}=108 \;\Rightarrow\; \dfrac{k^2}{k-1}=7{,}2.$$ Отсюда получаем квадратное уравнение: $$k^2-7{,}2k+7{,}2=0.$$

Шаг 4. Решаем его: корни $k=1{,}2$ и $k=6$.

Шаг 5. По условию $p<40$, значит $k=1+\dfrac{p}{100}<1{,}4$. Корень $k=6$ не подходит, остаётся $k=1{,}2$.

Шаг 6. Находим $p$: $$1+\dfrac{p}{100}=1{,}2 \;\Rightarrow\; p=20.$$

Таким образом, годовая процентная ставка составляет 20%.