Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Кредиты

Пусть $S=500$ тыс. руб. — сумма кредита, $x$ — размер одинакового платежа в первые три года, а в конце четвёртого года вносится $163{,}2$ тыс. руб., которыми долг полностью закрывается. Годовое начисление процентов означает, что долг умножается на коэффициент $k=1+0{,}2=1{,}2=\dfrac{6}{5}$.

Следим за долгом по годам:

• после начисления процентов в конце 1‑го года долг $kS$, после платежа $kS-x$;
• в конце 2‑го года: $k(kS-x)-x=k^2S-kx-x$;
• в конце 3‑го года: $k^3S-k^2x-kx-x$;
• в конце 4‑го года долг с процентами равен $k^4S-k^3x-k^2x-kx$, и именно эту сумму гасит последний платёж $163{,}2$.

Получаем уравнение: $$k^4S-k^3x-k^2x-kx-163{,}2=0.$$

Подставим $k=\dfrac{6}{5}$: $k^2=\dfrac{36}{25},\;k^3=\dfrac{216}{125},\;k^4=\dfrac{1296}{625}$.

Тогда $k^4S=\dfrac{1296}{625}\cdot500=1036{,}8$, а сумма коэффициентов при $x$: $\dfrac{216}{125}+\dfrac{36}{25}+\dfrac{6}{5}=4{,}368$.

Уравнение принимает вид: $$1036{,}8-4{,}368x-163{,}2=0 \;\Rightarrow\; 4{,}368x=873{,}6 \;\Rightarrow\; x=200.$$

Значит, три первых платежа по $200$ тыс. руб. и последний $163{,}2$ тыс. руб. дают общую сумму: $$3\cdot200+163{,}2=600+163{,}2=763{,}2\text{ тыс. руб.}$$