Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Кредиты

Пусть $S$ — сумма кредита. Каждый год банк начисляет 20%, то есть умножает текущий долг на $1{,}2$, а затем предприниматель гасит часть долга платежом.

После 1‑го года долг: $1{,}2S-x$.

После 2‑го года: $(1{,}2S-x)\cdot1{,}2-\dfrac{x}{2}$.

После 3‑го года кредит полностью закрывается, значит остаток равен нулю: $$\left((1{,}2S-x)\cdot1{,}2-\dfrac{x}{2}\right)\cdot1{,}2-\dfrac{x}{3}=0.$$

По условию сумма всех платежей больше суммы кредита на 149000 руб.: $$x+\dfrac{x}{2}+\dfrac{x}{3}-149000=S.$$

Раскрываем первое уравнение и упрощаем: $$1{,}728S-2{,}04x-\dfrac{x}{3}=0.$$

Выразим $S$ из второго уравнения и подставим: $$S=\dfrac{11x}{6}-149000,$$ $$1{,}728\left(\dfrac{11x}{6}-149000\right)-2{,}04x-\dfrac{x}{3}=0.$$

Вычисляем коэффициенты: $$3{,}168x-257472-2{,}04x-\dfrac{x}{3}=0\;\Rightarrow\;\dfrac{2{,}384x}{3}=257472.$$

Отсюда $x=772416/2{,}384=324000$ руб. — это первый платёж.

Теперь находим полную сумму выплат банку: $$x+\dfrac{x}{2}+\dfrac{x}{3}=324000+162000+108000=594000.$$

Это и есть общая сумма, выплаченная Ариной Андреевной.