ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 16Кредиты

Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Кредиты

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 16Банки, вклады, кредитыЗадачи о кредитах

В январе 2020 года Борис взял кредит в банке на сумму 4 200 000 рублей. По договору с банком Борис должен был погасить долг двумя равными платежами в феврале 2021 года и феврале 2022 года, при условии, что в январе 2021 года и январе 2022 года сумма оставшегося долга увеличивается на 10%. В феврале 2021 года Борис сделал первую выплату в соответствии с договором. После этого ему удалось договориться с банком о рефинансировании кредита и уменьшить процент, на который сумма долга вырастет в январе 2022 года, до 7%. Какую сумму сэкономит Борис на рефинансировании своего кредита?

В подтеме 186 задач
Разбор
Главная идея: Из условия равенства двух платежей составляется уравнение на неизвестный платёж, находится остаток долга после первой выплаты, а экономия — это разница в процентах начисления (10% и 7%) от этого остатка.

Пусть xx — размер каждого из двух равных платежей (в млн рублей).

  1. В январе 2020 г. долг равен 4,24{,}2 млн. По договору в январе 2021 г. долг увеличивается на 10%, поэтому перед первым платежом он равен 4,2⋅1,14{,}2\cdot1{,}1.

  2. После первого платежа в феврале 2021 г. остаток долга равен 4,2⋅1,1−x4{,}2\cdot1{,}1-x.

  3. По первоначальным условиям в январе 2022 г. этот остаток снова увеличивается на 10%, а затем вторым платежом xx долг должен закрыться полностью: (4,2⋅1,1−x)⋅1,1−x=0.\left(4{,}2\cdot1{,}1-x\right)\cdot1{,}1-x=0.

Это уравнение выражает то, что весь долг после начисления процентов равен сумме выплаты — иначе кредит не был бы закрыт.

  1. Решаем уравнение: 4,2⋅1,12−1,1x−x=0⇒x=4,2⋅1,212,1=2,42.4{,}2\cdot1{,}1^2-1{,}1x-x=0 \Rightarrow x=\dfrac{4{,}2\cdot1{,}21}{2{,}1}=2{,}42.

Таким образом, каждый платёж по первоначальному договору равен 2,422{,}42 млн рублей.

  1. Найдём величину долга сразу после первой выплаты (это та сумма, на которую дальше начисляются проценты): 4,2⋅1,1−2,42=2,2 млн рублей.4{,}2\cdot1{,}1-2{,}42=2{,}2\text{ млн рублей}.

  2. После рефинансирования ставка начисления на этот остаток снижена с 10% до 7%, то есть экономия составляет разницу в процентах — 3% от суммы остатка долга: 0,03⋅2 200 000=66 000 рублей.0{,}03\cdot2\,200\,000=66\,000\text{ рублей}.

Именно эта сумма — экономия Бориса, так как других изменений в условиях кредита не было.

Типичные ошибки

  • Неправильное составление уравнения для двух равных платежей (путают порядок начисления процентов и выплат).
  • Ошибка при нахождении остатка долга после первой выплаты — забывают учесть первое начисление 10%.
  • Вычисление экономии от всей суммы кредита, а не от остатка долга, оставшегося после первой выплаты.
Непонятно?

Похожие задачи