ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 16Кредиты

Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Кредиты

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 16Задачи о кредитах

20 мая 2024 года предприятие планирует взять в кредит S миллионов рублей на 4 года, где S  — целое число. Условия его возврата таковы:

—  каждый июнь долг возрастает на 24% по сравнению со значением в конце мая;

—  с сентября по декабрь необходимо выплатить часть долга;

—  20 мая каждого года, последующего за годом получения кредита, долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей:

Дата20.05.24 20.05.2520.05.2620.05.2720.05.28
ДолгS0,8S0,5S0,2S0

 

Найдите наименьшее значение S, при котором сумма наибольшей и наименьшей выплат не меньше 300 миллионов рублей.

В подтеме 186 задач
Разбор
Главная идея: Последовательно вычислить долг и выплату за каждый год, применяя рост 24% к текущему долгу и вычитая целевой остаток по таблице, затем найти наибольшую и наименьшую выплаты и решить неравенство на их сумму.

Обозначим кредит через SS (млн руб.). По условию в течение каждого года долг сначала растёт на 24% (в июне), а затем к 20 мая следующего года частично выплачивается, чтобы долг стал равен указанной доле от SS.

2024–2025 год. Долг на 20.05.2024 равен SS. После роста в июне: 1,24S1{,}24S. К 20.05.2025 долг должен стать 0,8S0{,}8S. Значит выплата равна 1,24S−0,8S=0,44S.1{,}24S-0{,}8S=0{,}44S.

2025–2026 год. Долг 0,8S0{,}8S, после роста: 0,8S⋅1,24=0,992S0{,}8S\cdot1{,}24=0{,}992S. К 20.05.2026 долг 0,5S0{,}5S. Выплата: 0,992S−0,5S=0,492S.0{,}992S-0{,}5S=0{,}492S.

2026–2027 год. Долг 0,5S0{,}5S, после роста: 0,5S⋅1,24=0,62S0{,}5S\cdot1{,}24=0{,}62S. К 20.05.2027 долг 0,2S0{,}2S. Выплата: 0,62S−0,2S=0,42S.0{,}62S-0{,}2S=0{,}42S.

2027–2028 год. Долг 0,2S0{,}2S, после роста: 0,2S⋅1,24=0,248S0{,}2S\cdot1{,}24=0{,}248S. К 20.05.2028 долг должен стать 0. Выплата: 0,248S.0{,}248S.

Сравнивая коэффициенты 0,44,  0,492,  0,42,  0,2480{,}44,\;0{,}492,\;0{,}42,\;0{,}248, видим, что наибольшая выплата — 0,492S0{,}492S, наименьшая — 0,248S0{,}248S (это следует из монотонного уменьшения долга и того, что рост в 24% применяется к убывающим суммам).

По условию задачи сумма наибольшей и наименьшей выплат не меньше 300: 0,492S+0,248S≥300  ⟹  0,74S≥300  ⟹  S≥3000,74=3000074=4053074.0{,}492S+0{,}248S\ge 300 \;\Longrightarrow\; 0{,}74S\ge 300 \;\Longrightarrow\; S\ge \frac{300}{0{,}74}=\frac{30000}{74}=405\frac{30}{74}.

Поскольку SS — целое число, наименьшее подходящее значение: S=406.S=406.

Типичные ошибки

  • Неправильно определяют, какая выплата наибольшая, а какая наименьшая, не сравнивая все четыре коэффициента.
  • Забывают, что рост 24% применяется к долгу на начало года, а не к первоначальному кредиту S.
  • Округляют S в меньшую сторону, забывая, что нужно найти наименьшее целое, удовлетворяющее строгому неравенству ≥300.
Непонятно?

Похожие задачи