ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 16Кредиты

Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Кредиты

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 16Задачи о кредитах

В начале января 2022 года планируется взять кредит в банке на 4 года на S млн рублей, где S  — целое число. Условия его возврата таковы:

  — каждый июль долг возрастает на 10% по сравнению с началом текущего года;

  — с августа по декабрь каждого года необходимо выплатить часть долга;

  — в январе каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей:

 

Начало года2022 2023 2024 2025 2026
Долг (в млн рублей)S0,8S0,5S0,3S0

 

Найдите наименьшее значение S, при котором сумма выплат банку за все 4 года составит не менее 10 миллионов рублей.

В подтеме 186 задач
Разбор
Главная идея: Составить сумму годовых платежей как разность между долгом после начисления процентов (июль) и требуемым остатком долга на следующий январь, затем решить линейное неравенство на SS.

Обозначим кредит через SS млн рублей. По условию долг на начало каждого января известен из таблицы: 2022 — SS, 2023 — 0,8S0{,}8S, 2024 — 0,5S0{,}5S, 2025 — 0,3S0{,}3S, 2026 — 00.

В течение года долг сначала растёт на 10% (это происходит в июле), то есть на начало июля он равен 1,1×(долг на январь)1{,}1\times(\text{долг на январь}). Затем с августа по декабрь заёмщик гасит часть долга так, чтобы к следующему январю долг стал равен нужному значению из таблицы. Значит, выплата за год равна разности между долгом на июль (уже с процентами) и долгом на январь следующего года.

Считаем по годам:

  • 2022: долг на июль =1,1S=1{,}1S, к январю 2023 должно остаться 0,8S0{,}8S, значит выплата =1,1S−0,8S=0,3S=1{,}1S-0{,}8S=0{,}3S.
  • 2023: долг на июль =1,1⋅0,8S=0,88S=1{,}1\cdot0{,}8S=0{,}88S, остаток к 2024 — 0,5S0{,}5S, выплата =0,88S−0,5S=0,38S=0{,}88S-0{,}5S=0{,}38S.
  • 2024: долг на июль =1,1⋅0,5S=0,55S=1{,}1\cdot0{,}5S=0{,}55S, остаток к 2025 — 0,3S0{,}3S, выплата =0,55S−0,3S=0,25S=0{,}55S-0{,}3S=0{,}25S.
  • 2025: долг на июль =1,1⋅0,3S=0,33S=1{,}1\cdot0{,}3S=0{,}33S, остаток к 2026 — 00, выплата =0,33S−0=0,33S=0{,}33S-0=0{,}33S.

Сумма всех выплат за 4 года: B=0,3S+0,38S+0,25S+0,33S=1,26S.B=0{,}3S+0{,}38S+0{,}25S+0{,}33S=1{,}26S.

По условию сумма выплат должна быть не меньше 10 млн рублей: 1,26S≥10  ⟺  S≥1000126=7118126≈7,94.1{,}26S\ge 10 \iff S\ge \dfrac{1000}{126}=7\dfrac{118}{126}\approx7{,}94.

Поскольку SS — целое число, наименьшее подходящее значение — S=8S=8.

Типичные ошибки

  • Ошибочно считать проценты от исходного кредита SS, а не от текущего остатка долга на начало года.
  • Перепутать порядок начисления процентов и погашения — считать выплату как разность долгов на два соседних января без учёта процентов.
  • Округлить SS в меньшую сторону вместо большей, забыв, что нужно наименьшее целое, удовлетворяющее неравенству ≥\ge.
Непонятно?

Похожие задачи