Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Кредиты

Обозначим кредит N (млн руб.), взятый в июле 2024 года.

Шаг 1. Долг после начисления процентов в январе. Каждый январь долг увеличивается на 20%, то есть умножается на $1{,}2$. Значит, долг в январе 2025 года равен $1{,}2N$.

Шаг 2. Выплата в 2025 году. По таблице к июлю 2025 долг должен стать $0{,}6N$. Выплата — это разница между долгом после начисления процентов и требуемым остатком: $$1{,}2N-0{,}6N=0{,}6N=\frac{3}{5}N.$$

Шаг 3. Долг в январе 2026 года. От остатка $0{,}6N$ снова начисляем 20%: $1{,}2\cdot0{,}6N=0{,}72N$.

Шаг 4. Выплата в 2026 году. К июлю 2026 долг должен стать $0{,}4N$, поэтому выплата: $$0{,}72N-0{,}4N=0{,}32N=\frac{8}{25}N.$$

Шаг 5. Долг в январе 2027 года. $1{,}2\cdot0{,}4N=0{,}48N$.

Шаг 6. Выплата в 2027 году. К июлю 2027 долг должен стать $0$, значит выплата равна всему оставшемуся долгу: $$0{,}48N=\frac{12}{25}N.$$

Шаг 7. Условие целочисленности. Все три выплаты — $\frac{3}{5}N,\ \frac{8}{25}N,\ \frac{12}{25}N$ — должны быть целыми числами. Дробь $\frac{3}{5}N$ целая, если $N$ кратно 5; дробь $\frac{8}{25}N$ (числитель 8 взаимно прост с 25) целая, если $N$ кратно 25; аналогично для $\frac{12}{25}N$. Значит, $N$ должно быть кратно $25$.

Шаг 8. Минимальное N. Наименьшее натуральное число, кратное 25, — это $N=25$. При этом все выплаты: $15$, $8$ и $12$ млн руб. — целые.