ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 16Кредиты

Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Кредиты

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 16Задачи о кредитах

В июле 2019 года планируется взять кредит в банке в размере S тысяч рублей (S  — натуральное число) сроком на 3 года. Условия его возврата таковы:

—  каждый январь долг увеличивается на 17,5% по сравнению с концом предыдущего года;

—  с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

—  в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии с таблицей:

 

Месяц и годИюль 2019Июль 2020Июль 2021Июль 2022
Долг (в тыс. рублей)S0,9S0,4S0

 

Найдите наименьшее значение S, при котором каждая из выплат будет составлять целое число тысяч рублей.

В подтеме 186 задач
Разбор
Главная идея: Выразить каждую выплату через SS как разность между долгом с начисленными процентами и требуемым остатком долга, привести к виду pqS\frac{p}{q}S с несократимой дробью и найти наименьшее SS, кратное всем знаменателям (через НОК).

Пусть кредит равен SS тыс. руб. Каждый январь долг увеличивается в 1,1751,175 раза (на 17,5%), а в июле долг уже должен равняться значению из таблицы. Значит, платёж с февраля по июнь — это разница между долгом после начисления процентов и долгом на июль соответствующего года.

Первый платёж (2020 год). После начисления процентов долг на начало 2020 года: 1,175S1,175S. К июлю 2020 он должен стать 0,9S0,9S. Значит, выплата: 1,175S−0,9S=0,275S=1140S.1,175S-0,9S=0,275S=\frac{11}{40}S.

Второй платёж (2021 год). Долг после января 2021: 1,175⋅0,9S1,175\cdot 0,9S. К июлю 2021 он должен стать 0,4S0,4S. Выплата: 1,175⋅0,9S−0,4S=0,6575S=263400S.1,175\cdot0,9S-0,4S=0,6575S=\frac{263}{400}S.

Третий платёж (2022 год). Долг после января 2022: 1,175⋅0,4S1,175\cdot0,4S, к июлю должен стать 0. Выплата: 1,175⋅0,4S−0=0,47S=47100S.1,175\cdot0,4S-0=0,47S=\frac{47}{100}S.

Числа 11, 263 и 47 не имеют общих делителей со своими знаменателями (40, 400, 100), поэтому для целочисленности всех трёх выплат нужно, чтобы SS делилось одновременно на 40, 400 и 100. Наименьшее такое натуральное число — их наименьшее общее кратное: НОК(40,400,100)=400.\text{НОК}(40,400,100)=400.

Проверка: при S=400S=400 все выплаты — целые числа тысяч рублей. Значит, наименьшее подходящее значение S=400S=400.

Типичные ошибки

  • Ошибка в начислении процентов — забывают, что проценты начисляются именно на остаток долга перед выплатой, а не на исходную сумму SS.
  • Не сокращают дроби перед поиском НОК, из-за чего берут неверные знаменатели.
  • Ищут НОК только двух знаменателей вместо всех трёх, теряя одно из условий целочисленности.
Непонятно?

Похожие задачи