ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 16Кредиты

Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Кредиты

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 16Задачи о кредитах

В июле 2026 года Аристарх планирует взять кредит на восемь лет в размере 58 миллионов рублей. Условия его возврата таковы:

—  каждый январь 2027, 2028, 2029 и 2030 годов долг будет возрастать на 5% по сравнению с концом предыдущего года;

—  в июле 2027, 2028, 2029 и 2030 годов долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;

—  каждый январь 2031, 2032, 2033 и 2034 годов долг будет возрастать на 10% по сравнению с концом предыдущего года;

—  в июле 2031, 2032, 2033 и 2034 годов долг должен быть на 7,5 миллионов меньше долга на июль предыдущего года;

—  к июлю 2034 года долг должен быть полностью погашен.

Известно, что сумма выплат на первые четыре года равна сумме выплат за последние четыре года. Найдите общую сумму выплат за весь срок кредита.

В подтеме 186 задач
Разбор
Главная идея: Найти постоянные суммы погашения основного долга в каждом из двух периодов, используя условие полного погашения долга к концу срока, затем сложить проценты по годам, начисляемые на остаток, чтобы получить общую сумму всех выплат.

  1. По условию последние 4 года (2031–2034) долг после июльских выплат каждый год уменьшается на одну и ту же сумму 7,57{,}5 млн, и к июлю 2034 года он равен нулю. Значит, за 4 одинаковых шага долг уменьшился с некоторого значения SS до 0: S=4⋅7,5=30S=4\cdot 7{,}5=30 млн руб. Это и есть долг на июль 2030 года (он же — начальная точка для последнего этапа).

  2. Первые 4 года (2027–2030) долг тоже уменьшается на постоянную величину dd каждый год, начиная с исходных 5858 млн и заканчивая теми же 3030 млн к июлю 2030: d=58−304=7 млн руб.d=\frac{58-30}{4}=7\text{ млн руб.}

  3. Каждая годовая выплата состоит из двух частей: погашение постоянной суммы (77 или 7,57{,}5 млн) плюс проценты, начисленные в январе на остаток долга (5%5\% в первые 4 года, 10%10\% — в последние). Составим остатки долга по годам:

  • 2027: 58→5158\to 51
  • 2028: 51→4451\to 44
  • 2029: 44→3744\to 37
  • 2030: 37→3037\to 30
  • 2031: 30→22,530\to 22{,}5
  • 2032: 22,5→1522{,}5\to 15
  • 2033: 15→7,515\to 7{,}5
  • 2034: 7,5→07{,}5\to 0

  1. Сумма выплат за первые 4 года: 4⋅7+0,05 (58+51+44+37)=28+0,05⋅190=28+9,5=37,5 млн.4\cdot 7+0{,}05\,(58+51+44+37)=28+0{,}05\cdot190=28+9{,}5=37{,}5\text{ млн}.

  2. Сумма выплат за последние 4 года: 4⋅7,5+0,1 (30+22,5+15+7,5)=30+0,1⋅75=30+7,5=37,5 млн.4\cdot 7{,}5+0{,}1\,(30+22{,}5+15+7{,}5)=30+0{,}1\cdot75=30+7{,}5=37{,}5\text{ млн}.

  3. Так как по условию эти две суммы равны (что подтверждается расчётом), общая сумма выплат за весь срок кредита: 37,5+37,5=75 млн руб.37{,}5+37{,}5=75\text{ млн руб.}

Типичные ошибки

  • Ошибочно считать, что проценты начисляются на исходный долг, а не на текущий остаток перед январской индексацией
  • Неправильно определить постоянную сумму погашения долга для первого периода, не используя связь с остатком на июль 2030 года
  • Забыть учесть проценты при суммировании выплат, посчитав итог как просто сумму погашений основного долга без начислений
Непонятно?

Похожие задачи