ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 16Кредиты

Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Кредиты

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 16

В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму 1 100 000 рублей на срок 4 года. Условия его возврата таковы:

—  каждый январь долг увеличивается на 20% по сравнению с концом предыдущего года.

—  с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга.

—  в первые три года (2027, 2028 и 2029 гг.) заемщик выплачивает только начисленные проценты, оставляя тело кредита неизменным.

В 2030 году заемщик выбирает одну из двух стратегий погашения остатка:

1)  Стратегия «Рассрочка»: Погасить весь оставшийся долг двумя равными платежами в 2030 и 2031 годах.

2)  Стратегия «Досрочный рывок»: Выплатить в 2030 году фиксированную сумму, чтобы остаток долга на начало 2031 года (сразу после начисления процентов в январе) стал ровно в два раза меньше, чем он был бы при стратегии «Рассрочка» в тот же момент времени.

На сколько рублей общая сумма выплат по второй стратегии будет меньше, чем по первой, если во втором случае кредит также будет полностью погашен в 2031 году?

В подтеме 186 задач
Разбор
Главная идея: Смоделировать рост долга на 20% в январе и погашение платежами по годам, приравняв остаток к нулю для одной стратегии и к половине «эталонного» остатка для другой, затем сравнить суммы всех платежей.

Первые три года (2027–2029) выплачиваются только проценты, тело кредита не меняется — значит, к началу 2030 года долг всё ещё равен 1 100 0001\,100\,000 руб.

Стратегия «Рассрочка». В январе 2030 долг увеличивается на 20%, потом платится x. Оставшаяся часть снова растёт на 20% в январе 2031, и вторым платежом x долг закрывается полностью: (1 100 000⋅1,2−x)⋅1,2−x=0(1\,100\,000\cdot1{,}2-x)\cdot1{,}2-x=0 1 584 000−1,2x−x=0⇒2,2x=1 584 000⇒x=720 0001\,584\,000-1{,}2x-x=0 \Rightarrow 2{,}2x=1\,584\,000 \Rightarrow x=720\,000 Сумма выплат: 720 000⋅2=1 440 000720\,000\cdot2=1\,440\,000 руб.

Стратегия «Досрочный рывок». Сначала найдём, каким был бы долг на начало 2031 (после начисления процентов) при «Рассрочке»: (1 100 000⋅1,2−720 000)⋅1,2=720 000 руб.(1\,100\,000\cdot1{,}2-720\,000)\cdot1{,}2=720\,000\text{ руб.} По условию новый долг должен быть в 2 раза меньше: 720 000/2=360 000720\,000/2=360\,000 руб. — это долг после начисления процентов в январе 2031, значит до начисления (то есть после платежа 2030 года) долг равен 360 000/1,2=300 000360\,000/1{,}2=300\,000 руб.

Платёж 2030 года: 1 100 000⋅1,2−300 000=1 020 0001\,100\,000\cdot1{,}2-300\,000=1\,020\,000 руб. В 2031 году долг 360 000360\,000 гасится полностью.

Сумма выплат: 1 020 000+360 000=1 380 0001\,020\,000+360\,000=1\,380\,000 руб.

Разница: 1 440 000−1 380 000=60 0001\,440\,000-1\,380\,000=60\,000 руб.

Типичные ошибки

  • Забывают, что проценты начисляются на остаток долга каждый январь, и берут неизменную базу для начисления
  • Ошибочно делят на 2 итоговую сумму долга без учёта момента начисления процентов (до или после января)
  • Путают порядок операций: сначала платёж, потом начисление процентов, или наоборот, что даёт неверное уравнение
Непонятно?

Похожие задачи