ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 16Кредиты

Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Кредиты

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 16Задачи о кредитах

В июле 2024 года планируется взять кредит на 4 года на сумму 500 тысяч рублей.

Условия возврата:

—  в январе 2025 г сумма долга увеличится на 10%;

—  каждый последующий январь долг будет возрастать на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

—  с февраля по июнь каждого года необходимо оплатить часть долга одним платежом;

—  платежи 2025, 2026, 2027 годов должны быть равными;

—  в июле 2028 г долг должен быть погашен полностью.

После погашения кредита сумма всех платежей составляет 676,8 тыс. руб. Сколько рублей составит платеж в 2025 году?

В подтеме 186 задач
Разбор
Главная идея: Проценты начисляются каждый год на остаток долга после платежа предыдущего года, поэтому нужно последовательно выразить остаток долга через xx по годам и приравнять сумму всех платежей к заданному числу.

Обозначим сумму кредита S=500S=500 тыс. руб., а равный платёж 2025–2027 гг. через xx (тыс. руб.), платёж 2028 г. обозначим yy — он погашает долг полностью.

Как растёт долг. Каждый январь долг увеличивается на процент от той суммы, что осталась после платежа предыдущего года (проценты начисляются на остаток).

  • Июль 2024: долг S=500S=500.
  • Январь 2025: +10%+10\%: долг =1,1S=1{,}1S.
  • Июль 2025: платёж xx, остаток =1,1S−x=1{,}1S-x.
  • Январь 2026: +20%+20\% от остатка: 1,2(1,1S−x)=1,32S−1,2x1{,}2(1{,}1S-x)=1{,}32S-1{,}2x.
  • Июль 2026: платёж xx, остаток =1,32S−2,2x=1{,}32S-2{,}2x.
  • Январь 2027: +20%+20\%: 1,2(1,32S−2,2x)=1,584S−2,64x1{,}2(1{,}32S-2{,}2x)=1{,}584S-2{,}64x.
  • Июль 2027: платёж xx, остаток =1,584S−3,64x=1{,}584S-3{,}64x.
  • Январь 2028: +20%+20\%: 1,2(1,584S−3,64x)=1,9008S−4,368x1{,}2(1{,}584S-3{,}64x)=1{,}9008S-4{,}368x.

В июле 2028 этот остаток гасится полностью, значит y=1,9008S−4,368xy=1{,}9008S-4{,}368x.

Сумма всех платежей. По условию 3x+y=676,83x+y=676{,}8: 3x+1,9008S−4,368x=676,8.3x+1{,}9008S-4{,}368x=676{,}8. Подставим S=500S=500: 1,9008⋅500=950,41{,}9008\cdot500=950{,}4, тогда 950,4−1,368x=676,8  ⇒  1,368x=273,6  ⇒  x=200.950{,}4-1{,}368x=676{,}8 \;\Rightarrow\; 1{,}368x=273{,}6 \;\Rightarrow\; x=200.

Значит платёж 2025 года равен 200 тыс. руб., то есть 200 000 руб.

Типичные ошибки

  • Начисление процентов на первоначальную сумму кредита, а не на текущий остаток долга
  • Ошибка в порядке действий: платёж вычитают до начисления процентов или наоборот, путая год начисления и год платежа
  • Забывают, что последний платёж (2028 г.) не равен xx, а равен всему оставшемуся долгу, и включают его в сумму как обычный xx
Непонятно?

Похожие задачи