ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 16Кредиты

Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Кредиты

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 16Задачи о кредитах

В июле 2026 года планируется взять кредит на 3 года в размере 800 тысяч рублей. Условия его возврата таковы:

—  в январе 2027 и 2028 годов долг будет возрастать на 10% по сравнению с концом предыдущего года;

—  в январе 2029 года долг будет возрастать на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

—  с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга.

Платежи в 2027, 2028 и 2029 годах должны быть равными; к июлю 2029 года долг должен быть выплачен полностью.

Найдите сумму всех платежей после полного погашения кредита.

В подтеме 186 задач
Разбор
Главная идея: Составить уравнение баланса долга: каждый год долг умножается на соответствующий коэффициент роста, затем вычитается фиксированный платёж, а в конце срока остаток должен быть равен нулю — из этого уравнения находится величина платежа.

Пусть S=800000S=800000 — сумма кредита, xx — ежегодный платёж (одинаковый в 2027, 2028, 2029 годах). Коэффициенты роста долга: k1=1+10100=1,1k_1=1+\dfrac{10}{100}=1{,}1 (для 2027 и 2028 годов) и k2=1+20100=1,2k_2=1+\dfrac{20}{100}=1{,}2 (для 2029 года).

Описываем движение долга по годам. После начисления процентов в январе 2027 долг равен Sk1S k_1, после платежа в этом же году — Sk1−xS k_1 - x. В январе 2028 долг снова увеличивается в k1k_1 раз, затем вычитается платёж: (Sk1−x)k1−x=Sk12−k1x−x(S k_1 - x)k_1 - x = S k_1^2 - k_1 x - x. В январе 2029 долг растёт уже в k2k_2 раз, а после последнего платежа он должен обнулиться: k2(Sk12−k1x−x)−x=0.k_2\big(S k_1^2 - k_1 x - x\big) - x = 0.

Раскрываем скобки: k2k12S−k2k1x−k2x−x=0k_2 k_1^2 S - k_2 k_1 x - k_2 x - x = 0, откуда выражаем xx: x=k2k12Sk2k1+k2+1.x = \dfrac{k_2 k_1^2 S}{k_2 k_1 + k_2 + 1}.

Подставляем числа: k12=1,21k_1^2=1{,}21, k2k12=1,2⋅1,21=1,452k_2k_1^2=1{,}2\cdot1{,}21=1{,}452; знаменатель k2k1+k2+1=1,32+1,2+1=3,52k_2k_1+k_2+1=1{,}32+1{,}2+1=3{,}52. x=1,452⋅8000003,52=330000.x=\dfrac{1{,}452\cdot 800000}{3{,}52}=330000.

Так как платежи в течение всех трёх лет одинаковы, общая сумма выплат банку равна 3⋅330000=9900003\cdot330000=990000 рублей.

Типичные ошибки

  • Неверно определяют, какой коэффициент (1,1 или 1,2) применяется к каждому году, путая порядок начислений.
  • Забывают, что платёж вычитается после начисления процентов, а не до него, что меняет структуру уравнения.
  • Считают итоговую сумму выплат как один платёж вместо суммы трёх одинаковых платежей за три года.
Непонятно?

Похожие задачи