ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 16Кредиты

Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Кредиты

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 16Задачи о кредитах

В июне 2028 года планируется взять кредит на 10 лет в размере 1500 тысяч рублей. Условия его возврата таковы:

—  каждый январь с 2029 по 2033 год долг возрастает на 22% по сравнению с концом предыдущего года;

—  каждый январь с 2034 по 2038 год долг возрастает на 18% по сравнению с концом предыдущего года;

—  с февраля по май каждого года необходимо выплатить часть долга;

—  в июне каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;

—  к июню 2038 года долг должен быть полностью погашен.

На сколько рублей последняя выплата будет меньше выплаты 2033 года?

В подтеме 186 задач
Разбор
Главная идея: Основной долг гасится равными долями (по 1/10 суммы кредита в год), а платёж каждого года — это сумма постоянной части основного долга и процентов, начисленных на оставшийся к тому моменту долг по соответствующей годовой ставке.

Пусть S = 1500 тыс. руб. — сумма кредита, срок — 10 лет. Так как в июне каждый год долг уменьшается на одну и ту же величину по сравнению с июлем прошлого года, а всего за 10 лет долг должен обнулиться, то основной долг гасится равными частями: каждый год выплачивается 0,1S0,1S тыс. руб. основного долга.

Платёж любого года складывается из этой постоянной части 0,1S0,1S и процентов, начисленных в январе на оставшийся долг (тот, что был на конец предыдущего июня).

К январю 2033 года (это 5‑й год кредита) основной долг уже уменьшился на 4⋅0,1S4\cdot0,1S, то есть составляет S−0,4S=0,6SS-0,4S=0,6S. На него в январе начисляются проценты по ставке k1=22100k_1=\frac{22}{100}, поэтому платёж 2033 года: 0,1S+0,6Sk1.0,1S+0,6S k_1.

К январю 2038 года (10‑й, последний год) долг уменьшился на 9⋅0,1S9\cdot0,1S, то есть равен 0,1S0,1S. Проценты начисляются уже по ставке k2=18100k_2=\frac{18}{100}, значит последняя выплата: 0,1S+0,1Sk2.0,1S+0,1S k_2.

Разность выплат: 0,1S+0,6Sk1−(0,1S+0,1Sk2)=0,1S(6k1−k2).0,1S+0,6Sk_1-(0,1S+0,1Sk_2)=0,1S(6k_1-k_2).

Подставляем S=1500S=1500, k1=0,22k_1=0,22, k2=0,18k_2=0,18: 0,1⋅1500 (6⋅0,22−0,18)=150⋅1,14=171 (тыс. руб.).0,1\cdot1500\,(6\cdot0,22-0,18)=150\cdot1,14=171\text{ (тыс. руб.)}.

Итак, последняя выплата меньше выплаты 2033 года на 171 000 рублей.

Типичные ошибки

  • Ошибочно считают, что доля основного долга меняется по годам, а не постоянна.
  • Путают, к какому остатку долга применяется ставка процентов — берут остаток после, а не до январского начисления.
  • Используют не ту процентную ставку для соответствующего периода (22% вместо 18% или наоборот).
Непонятно?

Похожие задачи