ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 16Кредиты

Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Кредиты

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 16Задачи о кредитах2.1.12.7* Разные задачи с прикладным содержанием

Александр Сергеевич взял ипотечный кредит суммой 2 млн рублей на 20 лет. Условия выплаты кредита таковы:

—  в начале каждого года долг увеличивается на 10%;

—  после начисления процентов выплачивается некоторая часть долга;

—  после выплаты долг должен быть на одну и ту же величину меньше, чем в аналогичном периоде прошлого года.

После 8‐⁠й выплаты Александру Сергеевичу удалось произвести реструктуризацию кредита, в результате чего процент, начисляемый в последующие годы, уменьшился до 8%. Какую сумму сэкономил Александр Сергеевич?

В подтеме 186 задач
Разбор
Главная идея: Поскольку долг уменьшается равномерно, экономия от снижения ставки на 2% равна 2% от суммы всех оставшихся сумм долга за последние 12 лет, которые образуют арифметическую прогрессию.

Так как каждый год долг должен уменьшаться на одну и ту же сумму, найдём эту величину: за 20 лет долг уходит с 2 000 000 до 0, значит ежегодное уменьшение долга равно 2 000 00020=100 000\dfrac{2\,000\,000}{20}=100\,000 руб.

После 8‑й выплаты долг уменьшился уже 8 раз по 100 000 руб, поэтому остаток долга составляет 2 000 000−8⋅100 000=1 200 0002\,000\,000-8\cdot100\,000=1\,200\,000 руб.

Дальше долг за оставшиеся 12 лет должен пройти значения 1 200 000,  1 100 000,…,100 0001\,200\,000,\;1\,100\,000,\dots,100\,000 — это арифметическая прогрессия с шагом 100 000.

В каждом из этих 12 лет в начале начисляются проценты на текущий остаток долга, а затем часть долга выплачивается. Проценты — это и есть переплата: без реструктуризации она считалась по ставке 10%, после реструктуризации — по ставке 8%. Разница в ставке (10%−8%=2%) начисляется на те же самые суммы остатка долга, значит именно эта разница и есть экономия за каждый год.

Остаётся посчитать сумму всех остатков долга за эти 12 лет — сумму арифметической прогрессии: S=1 200 000+100 0002⋅12=650 000⋅12=7 800 000 руб.S=\frac{1\,200\,000+100\,000}{2}\cdot 12=650\,000\cdot12=7\,800\,000\text{ руб.}

Экономия равна 2% от этой суммы: 0,02⋅7 800 000=156 000 руб.0,02\cdot 7\,800\,000=156\,000\text{ руб.}

Таким образом, Александр Сергеевич сэкономил 156 000 рублей.

Типичные ошибки

  • Ошибочно считать проценты только от суммы выплат, а не от остатка долга перед выплатой.
  • Неправильно определить количество лет, за которые нужно учитывать разницу ставок (перепутать 8 и 12 лет).
  • Забыть, что нужно брать именно разницу ставок (2%), а не полностью пересчитывать обе схемы выплат по отдельности.
Непонятно?

Похожие задачи