Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Кредиты

Обозначим взятую сумму кредита через $S$.

Как устроены выплаты. Каждый месяц 1-го числа долг увеличивается на $r\%$, то есть умножается на $\left(1+\frac{r}{100}\right)$, а точнее — начисляются проценты на остаток. Со 2 по 14 число выплачивается часть долга, гасящая именно эти проценты, а 15-го числа основной долг уменьшается на $x$, $2x$ или $3x$ (по три месяца каждый вид).

Платёж в каждом месяце равен сумме двух частей: проценты за месяц (начисленные на остаток долга к 1 числу) плюс уменьшение тела долга 15-го числа. Так как проценты гасятся полностью каждый месяц, основной долг к 1-му числу следующего месяца равен остатку после уменьшения в предыдущем месяце.

Остатки долга по месяцам (после уменьшения 15-го числа): $$S-x,\; S-2x,\; S-3x,\; S-5x,\; S-7x,\; S-9x,\; S-12x,\; S-15x,\; S-18x.$$

Последний остаток должен быть равен нулю (кредит закрыт к 14 октября), значит $$S-18x=0 \;\Rightarrow\; S=18x.$$

Сумма всех выплат. Складывая проценты со всех месяцев (они начисляются на остатки $S,\,S-x,\,S-2x,\,S-3x,\,S-5x,\,S-7x,\,S-9x,\,S-12x,\,S-15x$) и все уменьшения долга ($x+x+x+2x+2x+2x+3x+3x+3x=18x$), получаем: $$\text{Сумма выплат}=18x+\frac{r}{100}\Big(9S-54x\Big).$$

Используем условие о переплате. По условию сумма выплат равна $1{,}6S$. Подставим $S=18x$: $$18x+\frac{r}{100}\big(9\cdot 18x-54x\big)=1{,}6\cdot 18x.$$

Раскрываем скобку: $9\cdot18x-54x=162x-54x=108x$, получаем $$18x+\frac{r}{100}\cdot108x=28{,}8x.$$

Выражаем $r$: $$\frac{r}{100}=\frac{28{,}8x-18x}{108x}=\frac{10{,}8x}{108x}=\frac{10{,}8}{108}=0{,}1.$$

Отсюда $r=10$.