Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Кредиты

Пусть Сергей взял кредит на сумму $S$ рублей, а ежегодный платёж равен $x$ рублей. Ставка 25% означает, что за год долг увеличивается в $k=1{,}25=\dfrac{5}{4}$ раза.

По схеме аннуитетных платежей: после начисления процентов долг умножается на $k$, а затем вычитается платёж $x$. Составим долг по годам:

1-й год: долг $kS$, после выплаты остаток $kS-x$. 2-й год: долг $k(kS-x)=k^2S-kx$, после выплаты остаток $k^2S-kx-x$. 3-й год: долг $k(k^2S-kx-x)=k^3S-k^2x-kx$, после выплаты остаток должен стать нулём (кредит закрыт): $$k^3S-k^2x-kx-x=0.$$

Подставим $k=\dfrac{5}{4}$: $k^2=\dfrac{25}{16}$, $k^3=\dfrac{125}{64}$. Получаем $$\frac{125}{64}S=\left(\frac{25}{16}+\frac{5}{4}+1\right)x=\frac{61}{16}x,$$ отсюда $x=\dfrac{125}{4\cdot61}S=\dfrac{125}{244}S$.

Общая сумма выплат за три года — $3x$, а переплата — это разница между всей суммой выплат и взятым кредитом: $$3x-S=655\,000.$$ Подставляем $x$: $$3\cdot\frac{125}{244}S-S=655\,000 \;\Rightarrow\; \frac{375-244}{244}S=655\,000 \;\Rightarrow\; \frac{131}{244}S=655\,000.$$ Отсюда $S=655\,000\cdot\dfrac{244}{131}=5000\cdot244=1\,220\,000$ рублей — сумма кредита.

Стоимость машины равна сумме накоплений и кредита: $2\,780\,000+1\,220\,000=4\,000\,000$ рублей.

Доля недостающей суммы от стоимости машины: $$\frac{1\,220\,000}{4\,000\,000}\cdot100\%=30{,}5\%.$$