Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Кредиты

Пусть $S=1000$ тыс. руб. Каждый год 1 марта долг увеличивается на 2%, а затем к 1 февраля следующего года его гасят до нужного уровня — сумма выплаты равна проценту плюс плановое уменьшение долга.

Первые n лет долг уменьшается на 15 тыс. в год, значит долг перед начислением процентов в $k$-й год равен $S-15(k-1)$. Сумма выплат за эти годы: $$15n+0{,}02\cdot\frac{2S-15(n-1)}{2}\cdot n=n(35{,}15-0{,}15n).$$

Следующие n лет долг уменьшается на $x$ тыс. в год, начиная с уровня $1000-15n$. Аналогично сумма выплат: $$nx+0{,}02\cdot\frac{2(1000-15n)-(n-1)x}{2}\cdot n=n\left[x(1{,}01-0{,}01n)+20-0{,}3n\right].$$

По условию к концу $2n$-го года долг равен $600$ тыс., то есть $1000-15n-nx=600$, откуда $x=\dfrac{400}{n}-15$.

Последний платёж (в последний год) — это 2% от оставшегося долга плюс сам долг: $600+0{,}02\cdot600=612$ тыс.

Складываем все выплаты и приравниваем к $1346$: $$n(35{,}15-0{,}15n)+n\left[\left(\frac{400}{n}-15\right)(1{,}01-0{,}01n)+20-0{,}3n\right]+612=1346.$$

После раскрытия скобок получаем $$n^2-120n+1100=0,$$ откуда $n=10$ или $n=110$. Так как долг $1000-15n$ должен быть положительным, подходит $n=10$.

Всего срок кредита $2n=20$ лет, значит последний платёж — в $2018+20=2038$ году.