ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 16Кредиты

Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Кредиты

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 16Задачи о кредитах

Сергей планирует 17-⁠го декабря 2025 года взять кредит в банке на 1 100 000 рублей на 16 месяцев. Условия его возврата таковы:

—  3-⁠го числа каждого месяца долг возрастает на целое число r процентов по сравнению с концом предыдущего месяца;

—  с 4-⁠го по 16-⁠е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

—  17-го числа каждого месяца, с января 2026 года по март 2027 года, долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 17-⁠е число предыдущего месяца;

—  к 17-⁠му марта 2027 года долг должен быть равен 200 000 рублей;

—  к 17-⁠му апреля 2027 года кредит должен быть полностью погашен.

Найдите r, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1 620 000 рублей.

В подтеме 186 задач
Разбор
Главная идея: Долг за 15 месяцев убывает равномерно на фиксированную сумму, поэтому проценты за каждый месяц образуют арифметическую прогрессию; переплата — сумма этой прогрессии плюс проценты последнего месяца, что даёт уравнение относительно ставки k=r/100k=r/100.

Пусть S=1 100 000S=1\,100\,000 — сумма кредита, k=r100k=\dfrac{r}{100} — ставка в долях.

По условию с 17 января 2026 по 17 марта 2027 (15 месяцев) долг убывает равномерно от 1 100 0001\,100\,000 до 200 000200\,000, значит каждый месяц он снижается на 1 100 000−200 00015=60 000 руб.\frac{1\,100\,000-200\,000}{15}=60\,000\text{ руб.}

Значит долг перед начислением процентов в nn-м из этих месяцев равен S−(n−1)⋅60 000S-(n-1)\cdot 60\,000 (для n=1,…,15n=1,\dots,15), а в последнем, 16-м месяце остаток долга 200 000200\,000 гасится полностью, и на него тоже начисляются проценты.

Сумма всех процентов (переплата) равна сумме процентов за 15 месяцев плюс проценты последнего месяца: Sп=∑n=115(S−(n−1)⋅60000)k+200000k.S_п=\sum_{n=1}^{15}\big(S-(n-1)\cdot60000\big)k+200000k. Это арифметическая прогрессия с 15 членами, первый член SkSk, последний (S−14⋅60000)k(S-14\cdot60000)k. По формуле суммы арифметической прогрессии (a1+a152⋅15)\left(\dfrac{a_1+a_{15}}{2}\cdot15\right) получаем: Sп=15Sk−60000k⋅14⋅152⋅15⋅(упрощая)=15Sk−6 100 000k+200000k=15Sk−6 100 000k.S_п=15Sk-60000k\cdot\frac{14\cdot15}{2\cdot15}\cdot\text{(упрощая)}=15Sk-6\,100\,000k+200000k=15Sk-6\,100\,000k.

(Здесь учтено, что сумма 0+1+⋯+14=1050+1+\dots+14=105, значит 60000⋅105=6 300 00060000\cdot105=6\,300\,000, а после прибавления 200000k200000k получаем именно 6 100 000k6\,100\,000k — так как компенсируется член, соответствующий последнему месяцу.)

Общая сумма выплат 1 620 0001\,620\,000 руб., значит переплата Sп=1 620 000−1 100 000=520 000.S_п=1\,620\,000-1\,100\,000=520\,000.

Подставляем: 15⋅1 100 000 k−6 100 000k=520000,15\cdot1\,100\,000\,k-6\,100\,000k=520000, 16 500 000k−6 100 000k=520000,16\,500\,000k-6\,100\,000k=520000, 10 400 000k=520000,10\,400\,000k=520000, k=52000010400000=5100.k=\frac{520000}{10400000}=\frac{5}{100}.

Следовательно, r=5r=5.

Типичные ошибки

  • Не учитывают, что проценты начисляются и в последний, 16-й месяц на остаток 200 000200\,000 руб.
  • Ошибаются при подсчёте суммы арифметической прогрессии (неправильно определяют число членов или последний член).
  • Путают переплату с общей суммой выплат, забывая вычесть тело кредита 1 100 0001\,100\,000.
Непонятно?

Похожие задачи