ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 16Кредиты

Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Кредиты

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 16Задачи о кредитах

17‐го декабря 2021 года Дмитрий Иванович планирует взять кредит в банке на 1 100 000 рублей на (n + 1) месяц. Условия его возврата таковы:

  — 3‐⁠го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;

  — c 4‐⁠го по 16‐⁠е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

  — 17‐⁠го числа каждого месяца, с 1‐⁠го по n-⁠й, долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 17‐⁠е число предыдущего месяца;

  — к 17‐⁠му числу n‐го месяца после получения кредита долг должен быть равен 380 000 рублей;

  — к 17‐⁠му числу (n + 1)-⁠го месяца кредит должен быть полностью погашен.

Найдите n, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1 381 200 рублей.

В подтеме 186 задач
Разбор
Главная идея: Выплаты по месяцам образуют арифметическую прогрессию (разность связана с процентами на убывающий равными частями долг), а связь nn и шага уменьшения долга xx задаётся условием 1100−nx=3801100-nx=380; сумма прогрессии плюс последний платёж дают уравнение относительно nn.

Работаем в тысячах рублей: кредит 1100, к n‑му месяцу долг 380, всего выплат 1381,2.

1. Находим связь между n и x. По условию долг на 17‑е число каждый месяц уменьшается на одну и ту же сумму xx (тыс. руб.), поэтому после nn таких уменьшений он равен 1100−nx=380⇒nx=720.1100-nx=380\Rightarrow nx=720.

2. Строим выплаты по месяцам. Каждый месяц долг сначала растёт на 2% (умножается на 1,02), а затем часть его гасится: выплата = основной долг xx + проценты 0,02⋅(долг до начисления)0,02\cdot(\text{долг до начисления}). Так как «долг до начисления» в kk‑м месяце равен 380+(n−k)x380+(n-k)x, проценты убывают на 0,02x0,02x каждый месяц — выплаты образуют арифметическую прогрессию с разностью −0,02x-0,02x: a1=7,6+0,02nx+x,an=7,6+1,02x.a_1=7,6+0,02nx+x,\qquad a_n=7,6+1,02x.

3. Суммируем первые n выплат. По формуле суммы арифметической прогрессии Sn=a1+an2⋅n=7,6n+(0,01nx+1,01x)n.S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n=7,6n+\left(0,01nx+1,01x\right)n. Подставляя nx=720nx=720, получаем 0,01n⋅nx+1,01⋅nx⋅1n⋅n=0,01⋅720n+1,01⋅720=7,2n+727,2.0,01n\cdot nx+1,01\cdot nx\cdot\frac{1}{n}\cdot n=0,01\cdot720n+1,01\cdot720=7,2n+727,2. Значит Sn=7,6n+7,2n+727,2=14,8n+727,2S_n=7,6n+7,2n+727,2=14,8n+727,2.

4. Добавляем последний, (n+1)(n+1)‑й, платёж — полное погашение остатка 380 тыс. руб. с процентами: 1,02⋅380=387,6.1,02\cdot380=387,6.

5. Общая сумма выплат: B=14,8n+727,2+387,6=14,8n+1114,8.B=14,8n+727,2+387,6=14,8n+1114,8.

6. Используем данное значение суммы выплат: 14,8n+1114,8=1381,2⇒14,8n=266,4⇒n=18.14,8n+1114,8=1381,2\Rightarrow14,8n=266,4\Rightarrow n=18.

Типичные ошибки

  • Не учитывают, что проценты начисляются на «долг до начисления», а не на итоговый долг после уменьшения, из‑за чего неверно формируют выражения для платежей.
  • Забывают добавить последний, (n+1)(n+1)‑й платёж, которым долг гасится полностью (1,02·380).
  • Ошибаются при переводе рублей в тысячи рублей или путают знаки при подстановке nx=720nx=720 в формулу суммы.
Непонятно?

Похожие задачи