ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 16Кредиты

Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Кредиты

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 16Задачи о кредитах

Андрей планирует 17⁠-⁠го декабря 2025 года взять кредит в банке на 420 000 рублей на 12 месяцев. Условия его возврата таковы:

—  3⁠-⁠го числа каждого месяца долг возрастает на целое число r процентов по сравнению с концом предыдущего месяца;

—  с 4⁠-⁠го по 16⁠-⁠е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

—  17⁠-⁠го числа каждого нечётного месяца, начиная с января 2026 года по ноябрь 2026 года, долг должен быть на 50 000 рублей меньше долга на 17⁠-⁠е число предыдущего месяца;

—  17⁠-⁠го числа каждого чётного месяца, начиная с февраля 2026 года по декабрь 2026 года, долг должен быть на 20 000 рублей меньше долга на 17⁠-⁠е число предыдущего месяца;

—  к 17-⁠му декабря 2026 года кредит должен быть полностью погашен.

Найдите r, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 552 000 рублей.

В подтеме 186 задач
Разбор
Главная идея: Проценты каждый месяц начисляются не на весь исходный долг, а на остаток, оставшийся после предыдущей выплаты основного долга, поэтому сумма процентов равна сумме всех таких остатков, умноженной на r/100r/100, а эта сумма приравнивается к разности общей суммы выплат и суммы кредита.

  1. Найдём, сколько всего должно быть уплачено процентов. Общая сумма выплат равна возврату всего долга (420 тыс. руб.) плюс проценты, значит проценты составляют 552−420=132552-420=132 тыс. руб.

  2. По условию 3‑го числа долг увеличивается на r%r\% от остатка, оставшегося после предыдущей выплаты (17‑го числа предыдущего месяца). Поэтому база для начисления процентов каждый месяц — это остаток долга на 17‑е число прошлого месяца.

  3. Найдём эти остатки, начиная с 420 тыс. и попеременно вычитая 50 тыс. (нечётные месяцы) и 20 тыс. (чётные): 420, 370, 350, 300, 280, 230, 210, 160, 140, 90, 70, 20.420,\ 370,\ 350,\ 300,\ 280,\ 230,\ 210,\ 160,\ 140,\ 90,\ 70,\ 20. Это и есть базы, на которые начисляются проценты в январе–декабре 2026 года.

  4. Сумма процентов за год равна сумме этих баз, умноженной на r100\dfrac{r}{100}: (420+370+350+300+280+230+210+160+140+90+70+20)⋅r100=132.\left(420+370+350+300+280+230+210+160+140+90+70+20\right)\cdot\dfrac{r}{100}=132.

  5. Складываем числа в скобках: 420+370+350+300+280+230+210+160+140+90+70+20=2640420+370+350+300+280+230+210+160+140+90+70+20=2640.

  6. Получаем уравнение 2640⋅r100=1322640\cdot\dfrac{r}{100}=132, откуда r=132⋅1002640=5r=\dfrac{132\cdot100}{2640}=5.

Таким образом, ставка r=5%r=5\%.

Типичные ошибки

  • Начисление процентов на постоянную сумму (420 тыс.) вместо изменяющегося остатка после каждой выплаты.
  • Ошибка в определении, какие месяцы относятся к нечётным/чётным при подсчёте выплат по 50 и 20 тыс.
  • Неправильное вычисление суммы процентов — забывают вычесть основной долг (420 тыс.) из общей суммы выплат (552 тыс.).
Непонятно?

Похожие задачи