ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 16Кредиты

Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Кредиты

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 16Задачи о кредитах

В июле 2023 года планируется взять кредит в банке на 6 лет в размере S млн рублей. Условия возврата таковы:

—  каждый январь долг увеличивается на 16% по сравнению с концом предыдущего года;

—  с февраля по июнь каждого года необходимо одним платежом выплатить часть долга;

—  в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.

 

Дата Июль 2023Июль 2024 Июль 2025 Июль 2026 Июль 2027 Июль 2028Июль 2029
Долг
(в млн рублей) 		S0,9S0,8S0,7S0,6S0,5S0

 

Найдите, на сколько процентов общая сумма платежей после полного погашения кредита превысит сумму взятого кредита.

В подтеме 186 задач
Разбор
Главная идея: Проценты каждый год начисляются на долг, зафиксированный на предыдущий июль, поэтому общая переплата равна 16% от суммы всех этих базовых долгов, а итоговая сумма выплат — сумма кредита плюс эта переплата.

Каждый год кредит устроен одинаково: в январе долг, который был зафиксирован на июль предыдущего года, увеличивается на 16%, а затем несколькими платежами (с февраля по июнь) заёмщик снижает долг до нужного значения к июлю. То есть проценты каждый год начисляются именно на ту сумму, которая была долгом на предыдущий июль — это и есть база начисления процентов за этот год.

По таблице долги на июль равны: S, 0.9S, 0.8S, 0.7S, 0.6S, 0.5S, 0S,\ 0.9S,\ 0.8S,\ 0.7S,\ 0.6S,\ 0.5S,\ 0. Значит, за 6 лет кредита проценты 16% начисляются последовательно на суммы S, 0.9S, 0.8S, 0.7S, 0.6S, 0.5SS,\ 0.9S,\ 0.8S,\ 0.7S,\ 0.6S,\ 0.5S (по одной базе на каждый год).

Все платежи заёмщика в сумме должны погасить и сам кредит SS, и все начисленные проценты. Поэтому общая сумма выплат: B=S+0.16S+0.16⋅0.9S+0.16⋅0.8S+0.16⋅0.7S+0.16⋅0.6S+0.16⋅0.5S.B=S+0.16S+0.16\cdot0.9S+0.16\cdot0.8S+0.16\cdot0.7S+0.16\cdot0.6S+0.16\cdot0.5S.

Вынесем SS и сгруппируем проценты: B=S(1+0.16(1+0.9+0.8+0.7+0.6+0.5)).B=S\left(1+0.16\left(1+0.9+0.8+0.7+0.6+0.5\right)\right).

Сумма в скобках: 1+0.9+0.8+0.7+0.6+0.5=4.51+0.9+0.8+0.7+0.6+0.5=4.5.

Тогда: B=S(1+0.16⋅4.5)=S(1+0.72)=1.72S.B=S\left(1+0.16\cdot4.5\right)=S(1+0.72)=1.72S.

Значит, общая сумма выплат превышает сумму кредита в 1,72 раза, то есть на 0.72S0.72S, что составляет 72% от исходной суммы SS.

Ответ: превышение составляет 72%.

Типичные ошибки

  • Начисление процентов на текущий (уменьшенный) долг вместо долга на предыдущий июль
  • Ошибка при подсчёте суммы коэффициентов 1+0.9+0.8+0.7+0.6+0.51+0.9+0.8+0.7+0.6+0.5
  • Перевод итогового коэффициента 1,72 в проценты превышения как 172% вместо 72%
Непонятно?

Похожие задачи