Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Кредиты

Пусть $S=3$ млн руб. — сумма кредита, а $k=1+\dfrac{r}{100}$ — коэффициент, на который умножается долг после начисления процентов за месяц (долг растёт на $r\%$).

После каждого повышения долг уменьшают выплатой так, что 15 числа он оказывается меньше долга 15 числа предыдущего месяца на $\dfrac{1}{9}S$ (в феврале, апреле, июне) или на $\dfrac{2}{9}S$ (в марте, мае, июле). Отсюда сумма долга перед каждой выплатой равна произведению предыдущего остатка на $k$, а после выплаты — заданному значению. Значит сами выплаты равны разности «долг после начисления процентов» минус «новый остаток»:

$$Sk-\tfrac{8}{9}S,\; \tfrac{8}{9}Sk-\tfrac{6}{9}S,\; \tfrac{6}{9}Sk-\tfrac{5}{9}S,\; \tfrac{5}{9}Sk-\tfrac{3}{9}S,\; \tfrac{3}{9}Sk-\tfrac{2}{9}S,\; \tfrac{2}{9}Sk.$$

Сложив все шесть выплат, коэффициенты при $Sk$ дают $1+\tfrac{8}{9}+\tfrac{6}{9}+\tfrac{5}{9}+\tfrac{3}{9}+\tfrac{2}{9}=\dfrac{33}{9}=\dfrac{11}{3}$, а коэффициенты при $S$ (со знаком минус) — $\tfrac{8}{9}+\tfrac{6}{9}+\tfrac{5}{9}+\tfrac{3}{9}+\tfrac{2}{9}=\dfrac{24}{9}=\dfrac{8}{3}$.

Поэтому общая сумма выплат: $$\frac{11}{3}Sk-\frac{8}{3}S.$$

По условию эта сумма больше $S$ на $0,22$ млн руб. (220 тыс. руб.): $$\frac{11}{3}Sk-\frac{8}{3}S-S=0,22.$$

Подставляя $S=3$: $$11k-8-3=0,22\;\Rightarrow\;11k-11=0,22\;\Rightarrow\;k=1,02.$$

Так как $k=1+\dfrac{r}{100}$, получаем $r=2$.