Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Кредиты

Обозначим годовой коэффициент роста долга $k=1+\dfrac{10}{100}=1{,}1$, сумму кредита — $S$, ежегодный платёж $x=200000$ руб., а число лет — $n$.

Если бы платежей не было, долг рос бы по формуле сложных процентов: после $n$ лет он стал бы $k^nS$. По условию это равно 928 200 руб.: $$k^nS=928200.$$

Теперь учтём реальные платежи. Каждый год долг сначала увеличивается в $k$ раз, потом уменьшается на $x$. Расписав это по годам, получим, что после $n$-го платежа остаток долга равен $$k^nS - x\left(k^{n-1}+k^{n-2}+\dots+k+1\right)=k^nS - x\cdot\dfrac{k^n-1}{k-1}.$$ Это — геометрическая прогрессия со знаменателем $k$, поэтому сумма в скобках свёрнута по формуле суммы геометрической прогрессии.

Поскольку кредит выплачен полностью, остаток равен нулю: $$k^nS - x\cdot\dfrac{k^n-1}{k-1}=0.$$

Подставим сюда $k^nS=928200$ и $x=200000$: $$928200-200000\cdot\dfrac{k^n-1}{k-1}=0 \;\Rightarrow\; \dfrac{k^n-1}{k-1}=4{,}641.$$

Так как $k-1=0{,}1$, получаем $$\dfrac{1{,}1^n-1}{0{,}1}=4{,}641 \;\Rightarrow\; 1{,}1^n-1=0{,}4641 \;\Rightarrow\; 1{,}1^n=1{,}4641.$$

Замечаем, что $1{,}1^4=1{,}4641$ (можно проверить прямым возведением в степень), значит $$n=4.$$

Таким образом, кредит был взят на 4 года.