ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 16Кредиты

Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Кредиты

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 16Задачи о кредитах

Ольга хочет взять в кредит 100 000 рублей под 10% годовых. Погашение кредита происходит раз в год равными суммами (кроме, может быть, последней) после начисления процентов. На какое минимальное количество лет Ольга может взять кредит, чтобы ежегодные выплаты были не более 24 тысяч рублей?

В подтеме 186 задач
Разбор
Главная идея: Чтобы минимизировать срок кредита, нужно максимизировать ежегодный платёж (24000 руб.) и пошагово считать остаток долга по формуле Sn+1=Sn⋅1,1−24000S_{n+1}=S_n\cdot1{,}1-24000 до момента, когда долг становится неположительным.

Чтобы кредит был погашен за минимальное число лет, каждый годовой платёж должен быть максимально возможным, то есть равным 24 000 руб. (иначе долг уменьшался бы медленнее, и лет потребовалось бы больше).

Пусть SnS_n — остаток долга после nn-й выплаты, S0=100000S_0=100000. Каждый год сначала начисляются проценты (умножаем на 1,11{,}1), а затем вычитается платёж: Sn+1=Sn⋅1,1−24000.S_{n+1}=S_n\cdot 1{,}1-24000.

Считаем последовательно:

  • S1=100000⋅1,1−24000=86000S_1=100000\cdot1{,}1-24000=86000
  • S2=86000⋅1,1−24000=70600S_2=86000\cdot1{,}1-24000=70600
  • S3=70600⋅1,1−24000=53660S_3=70600\cdot1{,}1-24000=53660
  • S4=53660⋅1,1−24000=35026S_4=53660\cdot1{,}1-24000=35026
  • S5=35026⋅1,1−24000=14528,6S_5=35026\cdot1{,}1-24000=14528{,}6
  • S6=14528,6⋅1,1−24000=15981,46−24000=−8018,54S_6=14528{,}6\cdot1{,}1-24000=15981{,}46-24000=-8018{,}54

После шестого начисления процентов сумма долга (15981,4615981{,}46 руб.) стала меньше стандартного платежа (2400024000 руб.), значит именно в шестой год кредит будет полностью погашен (последний платёж может быть меньше стандартного). При пяти годах после пятого начисления процентов остаток 14528,6⋅1,1=15981,4614528{,}6\cdot1{,}1=15981{,}46 ещё положителен, то есть кредит не закрыт.

Следовательно, минимальное число лет, за которое Ольга может погасить кредит при платеже не более 24 тыс. руб., равно 6.

Типичные ошибки

  • Забывают, что для минимального срока платёж должен быть максимальным (24000), а не произвольным.
  • Ошибаются в порядке действий: сначала начисляют проценты, потом вычитают платёж, а не наоборот.
  • Неверно определяют момент погашения — считают, что кредит закрыт, когда остаток долга до начисления процентов положителен, хотя нужно проверять именно после начисления процентов.
Непонятно?

Похожие задачи