Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Кредиты

Шаг 1. Переведём условие в проценты по полугодиям. Кредит — 2540 тыс. руб. на 6 полугодий. Ставки: 1‑й и 2‑й полугодия — 10%, 3‑й и 4‑й — 20%, 5‑й и 6‑й — 25%. В первом полугодии платежа нет (только начисление процентов), затем в конце каждого следующего полугодия вносится одинаковая сумма $x$.

Шаг 2. Полугодие 1. Проценты начисляются, выплаты нет: $$2540\cdot1{,}1=2794.$$ Это долг, с которым начинается второе полугодие.

Шаг 3. Полугодие 2. Сначала начисляются проценты, потом вычитается платёж $x$: $$2794\cdot1{,}1=3073{,}4,\qquad \text{долг после платежа}=3073{,}4-x.$$

Шаг 4. Полугодие 3 (ставка 20%). $$(3073{,}4-x)\cdot1{,}2=3688{,}08-1{,}2x,$$ $$\text{долг после платежа}=3688{,}08-2{,}2x.$$

Шаг 5. Полугодие 4 (ставка 20%). $$(3688{,}08-2{,}2x)\cdot1{,}2=4425{,}696-2{,}64x,$$ $$\text{долг после платежа}=4425{,}696-3{,}64x.$$

Шаг 6. Полугодие 5 (ставка 25%, коэффициент $\dfrac54$). $$(4425{,}696-3{,}64x)\cdot\dfrac54=5532{,}12-4{,}55x,$$ $$\text{долг после платежа}=5532{,}12-5{,}55x.$$

Шаг 7. Полугодие 6 (ставка 25%). После последнего платежа долг должен обратиться в нуль, иначе кредит не будет полностью погашен: $$(5532{,}12-5{,}55x)\cdot\dfrac54=6915{,}15-6{,}9375x,$$ $$6915{,}15-6{,}9375x-x=0\ \Rightarrow\ 6915{,}15-7{,}9375x=0.$$

Шаг 8. Решаем уравнение. $$x=\dfrac{6915{,}15}{7{,}9375}=871{,}2.$$

Таким образом, каждый платёж, начиная со второго полугодия, равен 871,2 тыс. руб. Проверка: если подставить это значение обратно в цепочку, долг после шестого платежа обращается в ноль, значит кредит закрыт полностью.