Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Кредиты

Обозначим сумму кредита $S$ (тыс. руб.), а величину ежеквартальной выплаты $x$ (тыс. руб.). Чтобы кредит был максимальным, выплаты должны быть максимальными, то есть $x=84$ — иначе долг за год не успеет погаситься при том же $S$.

Составим движение долга по кварталам: сначала банк начисляет проценты, потом Николай Сергеевич делает выплату.

1 квартал: после начисления 10% долг $1{,}1S$, после выплаты $1{,}1S-x$.

2 квартал: после начисления $1{,}1(1{,}1S-x)=1{,}1^2S-1{,}1x$, после выплаты $1{,}1^2S-2{,}1x$.

3 квартал: после начисления $1{,}1(1{,}1^2S-2{,}1x)=1{,}1^3S-2{,}31x$, после выплаты $1{,}1^3S-3{,}31x$.

4 квартал: начисляются уже 25%, поэтому долг становится $1{,}25\,(1{,}1^3S-3{,}31x)$. По условию последняя выплата полностью закрывает кредит, значит после неё долг равен нулю: $$1{,}25\,(1{,}1^3S-3{,}31x)-x=0.$$

Раскроем скобки и соберём слагаемые с $S$ и $x$: $$1{,}25\cdot1{,}1^3S=1{,}25\cdot3{,}31x+x \;\Rightarrow\; 1{,}1^3S=3{,}31x+\dfrac{x}{1{,}25}=3{,}31x+0{,}8x=4{,}11x.$$

Отсюда $$S=\dfrac{4{,}11x}{1{,}1^3}.$$

Подставим максимально возможную выплату $x=84$: $$S=\dfrac{4{,}11\cdot84}{1{,}331}=\dfrac{345{,}24}{1{,}331}\approx259{,}3.$$

Округляя до целого числа тысяч рублей, получаем $S\approx259$ тыс. руб.