ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 16Кредиты

Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Кредиты

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 16Задачи о кредитах

В июле 2022 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму сроком на 5 лет. Условия возврата таковы:

—  в январе долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года;

—  с февраля по июнь необходимо внести единым платежом часть долга;

—  в июле 2023, 2024 годов долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга июля предыдущего года;

—  в июле 2024 года долг составляет 80% от первоначальной суммы кредита;

—  выплаты в 2025 и 2026 годах равны по 202 тыс. рублей;

—  долг в июле 2026 года составляет 20% от суммы долга на июль 2024 года;

—  в июле 2027 года долг должен быть полностью погашен.

Определите, чему равна общая сумма выплат.

В подтеме 186 задач
Разбор
Главная идея: Составить последовательные уравнения баланса долга по годам (рост на 10% в январе, платёж, новый остаток) и использовать заданные соотношения между остатками, чтобы найти неизвестный первоначальный долг SS, а затем сложить все фактические платежи.

Пусть SS — сумма кредита (тыс. руб.), коэффициент роста долга k=1+10100=1,1k=1+\dfrac{10}{100}=1{,}1.

Июль 2022 – июль 2023. В январе долг увеличивается на 10%: 1,1S1{,}1S. По условию июльский долг 2023 г. должен быть меньше июльского долга 2022 г. на ту же сумму, что и в 2024 г. По итогу таблицы (см. ниже) получаем июльский долг 0,9S0{,}9S, значит платёж в 2023 г.: 1,1S−0,9S=0,2S1{,}1S-0{,}9S=0{,}2S.

Июль 2023 – июль 2024. Январский долг: 1,1⋅0,9S=0,99S1{,}1\cdot0{,}9S=0{,}99S. По условию июльский долг 2024 г. равен 0,8S0{,}8S (80% от начальной суммы), поэтому убыль такая же, как и в прошлом году (0,1S0{,}1S) — условие выполнено. Платёж: 0,99S−0,8S=0,19S0{,}99S-0{,}8S=0{,}19S.

Июль 2024 – июль 2025. Январский долг: 1,1⋅0,8S=0,88S1{,}1\cdot0{,}8S=0{,}88S. Платёж фиксирован — 202202 тыс. руб. Июльский долг: 0,88S−2020{,}88S-202.

Июль 2025 – июль 2026. Январский долг: 1,1 (0,88S−202)1{,}1\,(0{,}88S-202). Платёж снова 202202. По условию июльский долг 2026 г. равен 20%20\% от долга июля 2024 г., то есть 0,2⋅0,8S=0,16S0{,}2\cdot0{,}8S=0{,}16S. Составляем уравнение: 1,1 (0,88S−202)−202=0,16S.1{,}1\,(0{,}88S-202)-202=0{,}16S. Раскрываем скобки: 0,968S−222,2−202=0,16S⇒0,808S=424,2⇒S=525.0{,}968S-222{,}2-202=0{,}16S \Rightarrow 0{,}808S=424{,}2 \Rightarrow S=525.

Июль 2026 – июль 2027. Январский долг: 1,1⋅0,16S=0,176S1{,}1\cdot0{,}16S=0{,}176S. Так как в июле 2027 г. долг должен быть полностью погашен, последний платёж равен всему остатку: 0,176S0{,}176S.

Общая сумма выплат. Складываем все платежи: B=0,2S+0,19S+202+202+0,176S=0,566S+404.B=0{,}2S+0{,}19S+202+202+0{,}176S=0{,}566S+404. Подставляем S=525S=525: B=0,566⋅525+404=297,15+404=701,15 тыс. руб.B=0{,}566\cdot525+404=297{,}15+404=701{,}15\text{ тыс. руб.}

Типичные ошибки

  • Не учитывать, что рост долга на 10% происходит именно от январского значения, а не от предыдущего июльского платежа.
  • Ошибочно считать, что убыль долга в 2023 и 2024 годах равна платежу, а не разнице между январским и июльским долгом.
  • Забыть, что последний платёж в 2027 году равен всему оставшемуся долгу, а не какой-то отдельной фиксированной сумме.
Непонятно?

Похожие задачи