Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Кредиты

Пусть сумма кредита равна $S$ условных единиц, а годовая ставка — $x\%$.

Шаг 1. За первый год на долг начисляются проценты, поэтому к концу года долг фермера становится $S(1+0{,}01x)$. Это стандартная формула роста суммы при простых процентах за один период.

Шаг 2. Фермер возвращает $\frac{3}{4}$ этой суммы, значит остаётся непогашенным $\frac{1}{4}$ часть долга: $$\frac14\cdot S(1+0{,}01x).$$

Шаг 3. На этот остаток снова начисляются проценты по той же ставке за второй год, поэтому к концу второго года долг равен $$\frac14 S(1+0{,}01x)^2.$$

Шаг 4. По условию эта сумма полностью гасит кредит и равна $1{,}21S$ (на 21% больше суммы кредита). Составляем уравнение: $$\frac14 S(1+0{,}01x)^2 = 1{,}21S.$$

Шаг 5. Сокращаем на $S>0$ (сумма кредита положительна) и решаем: $$(1+0{,}01x)^2 = 4\cdot1{,}21=4{,}84.$$ Извлекая корень (берём положительное значение, так как $1+0{,}01x>0$): $$1+0{,}01x = \sqrt{4{,}84}=2{,}2.$$

Шаг 6. Отсюда $$0{,}01x = 1{,}2 \Rightarrow x = 120.$$

Таким образом, ставка по кредиту составляет 120% годовых.