Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Кредиты

Пусть $S$ — сумма кредита, а $r$ — искомая процентная ставка. Введём коэффициент роста долга за год: $k=1+\dfrac{r}{100}$. Тогда после начисления процентов долг умножается на $k$.

Шаг 1. После первого года долг стал $kS$ — это сумма с начисленными процентами.

Шаг 2. Пётр Иванович вернул $\dfrac{2}{13}$ этой суммы, значит осталось выплатить $1-\dfrac{2}{13}=\dfrac{11}{13}$ от неё: остаток долга равен $\dfrac{11}{13}kS$.

Шаг 3. За второй год на этот остаток снова начисляются проценты — умножаем на $k$: долг становится $\dfrac{11}{13}k^2S$.

Шаг 4. Второй платёж полностью закрывает долг, и по условию он равен $1{,}43S$ (сумма на 43% больше первоначального займа). Значит: $$\dfrac{11}{13}k^2S-1{,}43S=0.$$

Шаг 5. Делим на $S\neq0$ и решаем уравнение относительно $k$: $$\dfrac{11}{13}k^2=1{,}43 \;\Rightarrow\; k^2=\dfrac{1{,}43\cdot13}{11}=1{,}69 \;\Rightarrow\; k=1{,}3$$ (берём положительный корень, так как $k>0$).

Шаг 6. Возвращаемся к смыслу $k$: $1+\dfrac{r}{100}=1{,}3$, откуда $r=30$.

Таким образом кредит был взят под 30% годовых.