Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Кредиты

Пусть общая сумма кредита равна $10S$ — так удобно, потому что каждый год заёмщик гасит ровно $\frac{1}{10}$ этой суммы, то есть $S$.

Перед каждой очередной выплатой известен остаток долга: перед 1-м платежом он равен $10S$, перед 2-м — $9S$, перед 3-м — $8S$ и так далее, перед 10-м — $S$. Это следует прямо из условия: долг каждый год уменьшается ровно на $S$.

В каждый год заёмщик платит две части:

1. $S$ — фиксированное погашение основного долга;
2. $19\%$ от текущего остатка долга — это проценты за пользование деньгами.

Сумма всех процентных платежей за 10 лет: $$0{,}19\cdot(10S+9S+\dots+S)=0{,}19\cdot S\cdot\frac{(10+1)}{2}\cdot10=0{,}19\cdot55S=10{,}45S.$$ Здесь использована формула суммы арифметической прогрессии $1+2+\dots+10=\frac{(1+10)}{2}\cdot10=55$.

Сумма всех платежей по основному долгу за 10 лет равна $10\cdot S=10S$ (ведь долг гасится равномерно).

Общая сумма, выплаченная банку: $$B=10{,}45S+10S=20{,}45S.$$

Теперь сравним её с исходной суммой кредита $10S$: $$\frac{B}{10S}=\frac{20{,}45S}{10S}=2{,}045.$$

Значит, заёмщик отдаст банку в 2,045 раза больше, чем взял.