ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 16Кредиты

Задание 16 ЕГЭ, математика (профиль): Кредиты

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 16Задачи о кредитах

Юрий Владимирович взял кредит в банке на 12 лет под 16% годовых. Условия возврата таковы: за первый год пользования кредитом он выплачивает дробь: числитель: 1, знаменатель: 12 конец дроби часть тела кредита, за второй год минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 11 конец дроби часть оставшегося тела кредита, за третий год минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 10 конец дроби часть нового остатка тела кредита и т. д., за 12-⁠й год выплачивает оставшуюся часть тела кредита.

Проценты за пользование кредитом выплачиваются в конце каждого года пользования кредитом солидарно с предприятием  — работодателем Юрия Владимировича. При этом предприятие выплачивает четверть процентной ставки, а остальную часть процентной ставки выплачивает заемщик.

Какую сумму в тысячах рублей должен будет заплатить Юрий Владимирович за пятый год пользования кредитом вместе с долей процентной ставки (без доли предприятия), если общая сумма затрат предприятия составляет 624 тысячи рублей?

В подтеме 186 задач
Разбор
Главная идея: Заметить, что тело кредита каждый год уменьшается на одинаковую величину SS, из‑за чего долг перед kk-м годом равен (13−k)S(13-k)S; далее через сумму арифметической прогрессии платежей предприятия найти SS, а затем вычислить нужный годовой платёж заёмщика.

Обозначим общий размер кредита как 12S12S тыс. руб., где SS — некоторая величина в тысячах рублей. По условию каждый год тело кредита уменьшается на одну и ту же сумму SS: в первый год выплачивается 112⋅12S=S\frac{1}{12}\cdot12S=S, во второй — 111\frac{1}{11} от оставшихся 11S11S, то есть снова SS, и так далее до 12‑го года, когда выплачивается остаток SS.

Значит, перед выплатой в kk-й год долг составляет (13−k)S(13-k)S тыс. руб. Проценты начисляются на этот остаток по ставке 16%, из которых 4% (четверть) платит предприятие, а 12% — сам заёмщик.

Платёж предприятия за год kk равен 0,04⋅(13−k)S0,04\cdot(13-k)S. Эти платежи образуют арифметическую прогрессию с первым членом 0,04⋅12S0,04\cdot12S и последним 0,04⋅S0,04\cdot S, число членов — 12. Их сумма по формуле суммы арифметической прогрессии: B=0,04⋅12S+0,04⋅S2⋅12=0,04⋅13S⋅6.B=\frac{0,04\cdot12S+0,04\cdot S}{2}\cdot12=0,04\cdot13S\cdot6.

По условию B=624B=624, значит 0,04⋅13S⋅6=624  ⇒  0,04⋅13S=104  ⇒  0,01⋅13S=26  ⇒  S=200.0,04\cdot13S\cdot6=624\;\Rightarrow\;0,04\cdot13S=104\;\Rightarrow\;0,01\cdot13S=26\;\Rightarrow\;S=200.

Теперь найдём платёж Юрия Владимировича за 5‑й год. Долг перед этим годом равен (13−5)S=8S=1600(13-5)S=8S=1600 тыс. руб. Он платит: тело кредита — S=200S=200 тыс. руб., и свою долю процентов — 0,12⋅8S=0,12⋅1600=1920,12\cdot8S=0,12\cdot1600=192 тыс. руб.

Итого: 200+192=392200+192=392 тыс. руб.

Типичные ошибки

  • Не заметить, что тело кредита уменьшается равными долями SS каждый год, и пытаться считать остатки по отдельным дробям заново.
  • Ошибка в разделении процентной ставки — забыть, что предприятие платит именно 4% (четверть от 16%), а не половину или полностью ставку.
  • Использовать неверный остаток долга для 5‑го года (например, взять остаток после 5‑й выплаты, а не перед ней) при расчёте процентов.
Непонятно?

Похожие задачи